Ciąg żonglera

Czy ktoś jeszcze pamięta mój wpis o ciągu Collatza? Dziś szybciutko o bardzo podobnym (i również nierozwiązanym) problemie matematycznym: ciągu żonglera.

Hipoteza postawiona przez amerykańskiego matematyka Clifforda A. Pickover (postać dość nietuzinkową i wartą osobnego wpisu) mówi, że ciąg żonglera zawsze kończy się jedynką.

Cóż to takiego, ów ciąg?

Jest to ciąg liczb naturalnych rozpoczynający się dowolnie wybraną liczbą, którego kolejny element wyznaczany jest jako:

– pierwiastek kwadratowy z poprzedniego elementu, zaokrąglony w dół do pełnej całości, jeżeli poprzedni element jest parzysty, lub
– pierwiastek kwadratowy z sześcianu poprzedniego elementu, zaokrąglony w dół do pełnej całości, jeżeli ów poprzedni element jest nieparzysty.

Kilka przykładów:
Jeżeli zaczniemy od dwójki, która jest parzysta, w wyniku natychmiast dostaniemy jedynkę (pierwiastek z dwóch to okolice 1.41, po zaokrągleniu w dół zostaje 1)
Zaczynając od pięciu, dostaniemy następującą sekwencję: 5, 11, 36, 6, 2, 1
Jeżeli zaczniemy od dziewiątki, dostaniemy: 9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1

I tak dalej. Niezależnie od tego, co będzie na początku, na końcu i tak zapętlimy się na jedynce.

Niektóre ciągi żonglera są dość długie i idą w górę do bardzo, bardzo dużych wartości, zanim spadną do jedynki. Na przykład jeżeli zaczniemy od 37, dojdziemy aż do 24 906 114 455 136. Ciąg żonglera startujący od 48 443 osiąga (po sześćdziesięciu krokach) wartość 972 463-cyfrową, żeby spaść do jedynki po 157 krokach. Tak więc, podobnie jak ciąg Collatza, zachowuje się on dość nieliniowo i nieprzewidywalnie, ale nie udało się jeszcze znaleźć takiego elementu początkowego, który zapętliłby się gdzieś powyżej jedynki, lub który rozwinąłby się do nieskończoności. Nie udało się też udowodnić nieistnienia takiego elementu.

Jacyś chętni na ugryzienie problemu metodami analitycznymi?

Ja spasuję 😉 Jak powiedział kiedyś Paul Erdos, “matematyka jeszcze nie jest gotowa na takie problemy”.


Liczba słów w tym wpisie: 332

Sprawdź też

Rozwiązanie zagadki o nazwach województw

Postawiona niedawno zagadka była nie całkiem banalna, ale przy odrobinie znajomości dowolnego języka programowania dało …

Zagadka słownikowo-geograficzno-algorytmiczna

Tym razem powędrujemy sobie słownikiem po mapie Polski. Na chwilę obecną w Polsce mamy 16 …

Zapisz się
Powiadom o
guest
3 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
3
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x