W matematyce połączenia między różnymi jej kawałkami bywają całkiem zaskakujące. Dziś pokażę co mają ze sobą wspólnego konstrukcje platońskie (czyli matematyka za pomocą wyłącznie cyrkla i liniału) oraz liczby Fermata i trójkąt Sierpińskiego.
Nie będzie zbyt trudno, obiecuję 😉
Zaczniemy od konstrukcji.
Konstrukcja platońska (zwana częściej klasyczną) polega na narysowaniu zadanego układu odcinków i kątów przy użyciu wyłącznie liniału oraz cyrkla, przy czym obydwa te narzędzia są wyidealizowane: cyrkiel jest niesprężysty (a więc rysuje idealne kółka) oraz ma punktowy rysik (rysowane kółka są faktycznie dwuwymiarowe), a także da się go rozewrzeć na dowolnie dużą (ale skończoną) odległość, natomiast linijka jest dowolnie długa, nie ma podziałki oraz ma tylko jedną krawędź.
Nawiasem mówiąc wykazano, że każdą konstrukcję platońską da się narysować bez użycia linijki (tj. samym cyrklem), o ile wystarczą nam same punkty bez łączących je odcinków. Ponadto jeżeli mamy do dyspozycji okrąg (lub nawet jego fragment, czyli łuk - dowolnie krótki) ze znanym środkiem, nie potrzebujemy w ogóle cyrkla. Ale to już całkiem inna historia.
Za pomocą tych dwóch narzędzi możemy w prosty sposób narysować dwa odcinki prostopadłe, a także skopiować długość odcinka. Możemy więc narysować kwadrat.
Trójkąt równoramienny też się da, prościutko. I równoboczny, a jakże.
A co z pięciokątem foremnym?
Też się da. Konstrukcja nie jest na pierwszy rzut oka oczywista, ale nie jest też specjalnie skomplikowana. Znane są co najmniej cztery różne sposoby na skonstruowanie pięciokąta foremnego.
A siedmiokąt?
Nie da się! Jak by człowiek nie kombinował, nie da rady klasycznie skonstruować siedmiokąta foremnego. Nie i już.
9-kąta, 11-kąta ani 14-kąta też się nie da.
Ogólna zasad mówi, że n-kąt foremny można skonstruować wyłącznie wtedy, gdy n da się przedstawić jako nieujemną potęgę dwójki przemnożoną przez iloczyn dowolnej liczby liczb pierwszych Fermata.
Liczb pierwszych Fermata znamy na dzień dzisiejszy zaledwie pięć: 3, 5, 17, 257 oraz 65537, co daje nam 31 różnych kombinacji ich iloczynów. Jeżeli weźmiemy do tego zerową potęgę dwójki (czyli 1), okaże się że znamy dziś tylko 31 wielokątów foremnych o nieparzystej liczbie boków, które da się skonstruować klasycznie. Największy ma prawie 4.3 mld boków. Natomiast największy, którego konstrukcję faktycznie wykonano, ma 65537 boków (konstrukcję opisano na 200 stronach i zajęło to autorowi około 10 lat).
No a gdzie Sierpiński, pytacie?
Okazuje się, że jeżeli zapiszemy te nieparzyste liczby boków jedna pod drugą w postaci binarnej, otrzymamy:
00000000000000000000000000000011 00000000000000000000000000000101 00000000000000000000000000001111 00000000000000000000000000010001 00000000000000000000000000110011 00000000000000000000000001010101 00000000000000000000000011111111 00000000000000000000000100000001 00000000000000000000001100000011 00000000000000000000010100000101 00000000000000000000111100001111 00000000000000000001000100010001 00000000000000000011001100110011 00000000000000000101010101010101 00000000000000001111111111111111 00000000000000010000000000000001 00000000000000110000000000000011 00000000000001010000000000000101 00000000000011110000000000001111 00000000000100010000000000010001 00000000001100110000000000110011 00000000010101010000000001010101 00000000111111110000000011111111 00000001000000010000000100000001 00000011000000110000001100000011 00000101000001010000010100000101 00001111000011110000111100001111 00010001000100010001000100010001 00110011001100110011001100110011 01010101010101010101010101010101 11111111111111111111111111111111
Nie widać?
No to wrzućmy to do Excela, rozbijmy na poszczególne kolumny i sformatujmy jedynki na czarno:
Magia, panie...
A jak za pomocą cyrkla i linijki narysować kwadrat o polu równym takiego wielokąta?
Nauka w minutę:
https://img-9gag-fun.9cache.com/photo/aqgK3gY_460svvp9.webm
Mimo, że to z 9gag to czasem można trafić i na takie perełki 😉
„n-kąt foremny można skonstruować wyłącznie wtedy, gdy n da się przedstawić jako nieujemną potęgę dwójki przemnożoną przez iloczyn dowolnej liczby liczb pierwszych Fermata.”
Zawsze mnie zastanawiało, jak ludzie wpadają na trop takich powiązań.
Pewnie czytają mojego bloga 😉
Rozumiem. Przeczytali u Ciebie, że to odkryli, więc chcąc nie chcąc odkrywają. Bo skoro w internetach u Ciebie jest napisane, to musi to być prawda ;).
Mam wrażenie, że brakuje tu jakiegoś ważnego elementu, ale Kuttnerowski Galegher też tak wynalazł miotacz. Więc pewnie tak to działa ….
Przepraszam, że nie na temat, i w ogóle na odwrót – reducjonizm, ale może zaciekawi.
Patrz tu ==> https://bloginglife2.blogspot.com/2017/06/geometryczna-gimnastyka.html
Temat z sumą kątów wewnętrznych wielokąta jest mi nieobcy. „Rozciąganie” wielokąta – pomysłowe. Dorzucam Twój blog do czytnika RSS, całkiem tam sympatycznie.