Kolacja Collatza

https://xpil.eu/kxrp5 📋

Od czasu do czasu natrafiam w Sieci na ciekawostki matematyczne, którymi następnie torturuję swoich Czytelników. Co prawda ponieważ Czytelnicy nie są przykuci łańcuchami, mogą po prostu zakliknąć Ctrl-F4 i opuścić ten padół matematycznych bredni, ale liczę na to, że może chociaż drobny odsetek pozostanie i da się nieco wyedukować 🙂

Tym razem padło na hipotezę Collatza. Żeby jednak dorwać się do samej hipotezy, zdefiniujmy sobie najpierw ciąg Collatza, który wygląda następująco:

Bierzemy dowolną liczbę naturalną.

Jeżeli jest ona parzysta, dzielimy ją przez dwa. Jeżeli zaś jest nieparzysta, mnożymy przez trzy i dodajemy jedynkę.

Z wynikiem postępujemy identycznie - jeżeli jest on liczbą parzystą, dzielimy na pół, w przeciwnym razie mnożymy przez trzy i dodajemy jedynkę.

I tak w koło Macieju, aż dojdziemy do... no właśnie, do czego dojdziemy?

Formalnie to wygląda o, tak:

\({a_{n+1}} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}a_n & \mbox{gdy } a_n \mbox{ jest parzysta}\\
3a_n + 1 & \mbox{gdy } a_n \mbox{ jest nieparzysta}
\end{cases}
\)

Sprawdźmy na kilku prostych przykładach:

5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1...

17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Jak widać, niezależnie od jakiej liczby zaczniemy, na koniec zawsze zapętlimy się na 4, 2, 1, 4, 2, 1...

Czy faktycznie zawsze?

Pytanie takie postawił sobie niemiecki matematyk Lothar Collatz. Nie udało mu się na nie niestety jednoznacznie odpowiedzieć, podobnie jak innemu słynnemu matematykowi polskiego pochodzenia, Stanisławowi Ulamowi (o którym niedawno wspominałem przy całkiem innej okazji).

Potem za bary z hipotezą Collatza (według której ciąg Collatza jest zawsze zbieżny do 1 niezależnie od liczby początkowej) brało się jeszcze wielu jajogłowych - jednak nikomu nie udało się owej hipotezy dowieść. Tak to często bywa z pozornie banalnymi pytaniami. Tak było przez wiele lat z Wielkim Twierdzeniem Fermata, tak też jest z Hipotezą Goldbacha.

Żeby udowodnić fałszywość hipotezy Collatza, wystarczyłoby albo: znaleźć liczbę początkową, która rozwinie się w ciąg rosnący w górę aż do nieskończoności, albo znaleźć inną pętlę niż 4,2,1.

Póki co udało się udowodnić (dalibóg nie wiem jakim cudem, ale udało się), że jeżeli istnieje cykl inny niż 4,2,1, będzie on miał trochę więcej niż 68 wyrazów. Ale nie udało się jeszcze takiego ciągu znaleźć.

Od razu uprzedzam nadgorliwych Czytelników: udowodnienie (bądź też obalenie) hipotezy Collatza to nie jest jeden z problemów milenijnych, a więc nie można tu zarobić miliona dolarów. Ale wieczna sława i wpis w Wikipedii też są fajne, więc jakby ktoś był zainteresowany, do boju...

https://xpil.eu/kxrp5 📋