Udowodnimy sobie dzisiaj pewne dość proste (aczkolwiek całkiem na pierwszy rzut oka nieoczywiste) twierdzenie matematyczne dotyczące liczb pierwszych.
Pokażemy mianowicie, że jeżeli weźmiemy dowolną liczbę pierwszą większą od 3, podniesiemy ją do kwadratu, a od wyniku odejmiemy jedynkę, dostaniemy liczbę podzielną przez 24.
Zaczniemy od lematu.
Lemat, jak wszyscy pamiętają ze szkoły średniej, to inaczej twierdzenie pomocnicze.
Lemat mówi, że każdą liczbę pierwszą x większą od 3 da się przedstawić w postaci \(6n \pm 1\), gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią.
Dowód lematu:
Weźmy liczbę x i podzielmy ją (z resztą) przez sześć. W wyniku dostaniemy jakąś liczbę oraz jakąś resztę. Owa reszta będzie równa 0, 1, 2, 3, 4 lub 5.
Czyli: \(x = 6n + r\), gdzie x to nasza sprawdzana liczba, n to jakaś liczba naturalna, a r to reszta z dzielenia x przez 6.
Sprawdźmy teraz różne warianty r:
Jeżeli r = 0, 2 lub 4, wówczas liczba x jest parzysta (a więc nie jest pierwsza)
Jeżeli r = 3, wówczas x dzieli się przez 3 (czyli też nie jest pierwsza).
A więc żeby x było liczbą pierwszą, r musi wynosić albo 1, albo 5.
Jednak \(6n + 5\) to nic innego jak \(6(n+1) - 1\). A więc liczbę, która przy dzieleniu przez sześć daje resztę pięć, da się przedstawić w postaci \(6n \pm 1\), gdzie n jest liczbą naturalną.
Udowodniwszy nasz lemat, przechodzimy teraz do dowodu twierdzenia głównego:
Bierzemy naszą liczbę pierwszą postaci \(6n \pm 1\) i podnosimy do kwadratu:
\((6n \pm 1)^2 = 36n^2 \pm 12n + 1\)Następnie, zgodnie z treścią twierdzenia, odejmujemy jedynkę. Zostaje nam:
\(36n^2 \pm 12n\)Wyciągamy 12n przed nawias:
\(12n(3n \pm 1)\)I teraz tak: albo n jest parzyste, albo \((3n \pm 1)\) jest parzyste. A więc \(n(3n \pm 1)\) jest na pewno parzyste. Dwanaście przemnożone przez liczbę parzystą dzieli się przez 24.
Proste?
No pewnie, że proste...
Nudne?
Bardzo nudne. Muszę trzymać poziom, jeżeli chcę uzyskać zezwolenie FDA na sprzedaż wpisów w charakterze środka nasennego 😉
Jeżeli chcesz do komentarza wstawić kod, użyj składni:
[code]
tutaj wstaw swój kod
[/code]
Jeżeli zrobisz literówkę lub zmienisz zdanie, możesz edytować komentarz po jego zatwierdzeniu.