Dziś zaczniemy od jednej z moich ulubionych piosenek satyrycznych pod tytułem "Tanie latanie", czyli po naszemu "Cheap flights".
Kto latał Ryanair-em, ten ubawi się z powyższego kawałka podwójnie. A kto nie latał, ten szczęśliwy.
Przejdźmy teraz do zagadki:
Do pustego przedziału pasażerskiego zaczynają wsiadać pasażerowie. Grzecznie, pojedynczo.
- Każdy pasażer ma zarezerwowane dokładnie jedno miejsce (nie ma "grubasów", którzy sobie zaklepali dwa miejsca).
- Wszystkie miejsca są zarezerwowane (nie ma miejsc "zapasowych" dla "niespodziewanych dostojników cesarskich")
- Każde miejsce jest zarezerwowane dokładnie dla jednego pasażera (nie ma overbookingu).
Pech chciał, że jako pierwsza do samolotu wsiada Szalona Kobieta Z Kapeluszem W Kształcie Ogrodu Bonsai, która zamiast zająć miejsce wskazane na karcie pokładowej, zajmuje miejsce całkiem przypadkowe (wylosowane z jednakowym prawdopodobieństwem spośród wszystkich miejsc).
Każdy kolejny pasażer zajmuje miejsce według następującego algorytmu:
- Jeżeli miejsce dla niego zarezerwowane jest wolne, siada na nim.
- Jeżeli nie, postępuje tak, jakby był Szaloną Kobietą Z Kapeluszem W Kształcie Ogrodu Bonsai i wybiera przypadkowe miejsce spośród jeszcze dostępnych.
Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatni pasażer zajmie swoje miejsce?
Moim zdaniem dokładnie 50%. Albo zajmie albo nie zajmie 🙂
W ten sposób kombinując wychodzi, że każda ilość oczek na kostce może wypaść z prawdopodobieństwem 50%, bo albo wypadnie albo nie wypadnie. Postaraj się bardziej.
Jeśli przedział 6-osobowy to szansa 1/6, jeśli 8 osobowy to 1/8.
O, ktoś jednak podjął rękawicę! Powiedz, proszę, jak doszedłeś do tego wyniku.
Fakt, że w zagadce nie podano wielkości przedziału sugerował, ze odpowiedź jest od tego niezależna – tak właśnie wyszło komentatorowi Cichy.
Ja popelniłem błąd na wstępie – ten barwny wywód na temat wyglądu Szalonej Pasażerki zaciemnił mi obraz i przyjąłem, że ona zajęła niewłaściwe miejsce, a zatem któryś z kolejnych pasażerów też musiał zająć niewłaściwe miejsce, itd
To jest w sumie całkiem ciekawa zagadka.
Jeżeli przyjmiemy, że pasażer numer X ma zarezerwowane miejsce numer X (uproszczenie, ale nie rzutujące na końcowy wynik), to każdy z pasażerów oprócz dwóch piewszych będzie widział wszystkie miejsca z zakresu (2..X-1) zajęte. Nigdy nie będzie tak, że czwarty pasażer usiądzie na miejscu numer 3 albo 2.
A jak się to rozpisze na poszczególne warianty (byłem na tyle szalony, że sobie to w Excelu “rozrysowałem” aż do wersji z siedmioma pasażerami), to okazuje się, że dla N pasażerów jest 2^N możliwych, jednakowo prawdopodobnych wariantów. I zawsze jest tak, że w 50% przypadków ostatni pasażer zajmuje swoje miejsce, a w pozostałych 50% – miejsce numer 1.
Póki co nie wgryzłem się jeszcze w zagadnienie analitycznie, ale śmierdzi mi to wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe. Jak znajdę chwilę o jakiejś bardziej cywilizowanej godzinie, może się z tym nawet zmierzę.
Nie jestem pewien tych 50% dla ostatniego pasażera.
Np, 3 miejsca.
Osoba 1 – 1/3 szansy, że usiądzie na swoim miejscu.
Osoba 2 – 2/3 szansy, że osoba 1 nie usiadła na jej miejscu.
Ale osoba 3 – 2/3 szansy, że osoba 1 nie usiadła na swoim miejscu a w tym przypadku osoba 3 nie ma szansy zająć swojego miejsca- zatem ma tylko 1/3 szansy
Proces jest losowy do momentu kiedy ktoś usiądzie na miejscu zarezerwowanym dla pasażera numer 1. Może to ułatwi Ci policzenie prawdopodobieństw.
Rozwiązanie jest bardzo proste. Gdyby w samolocie były dwa miejsca, to prawdopodobieństwo wyniesie oczywiście 50%. Dla trzech miejsc mamy 1/3 szansy, że Szalona Kobieta trafi na swoje miejsce, 1/3 że na miejsce ostatniego pasażera, a w ostatnim przypadku środkowy pasażer staje się Szaloną Kobietą i znowu mamy 50%. Dla czterech miejsc to samo, tylko z prawdopodobieństwami 1/4 dla dwóch pierwszych przypadków i 1/2 dla środkowego – i tak dalej. Zatem niezależnie od liczby miejsc, zawsze będzie to 50%. QED
Doskonale!
Nie mam zielonego pojecia! Ale piosenke wysluchalam dwa razy jest niesamowita ! Usmialam sie okrutnie, zwlaszcza, ze sama latam na Stansted
Ta kapela ma mnóstwo innych piosenek, równie zabawnych. O ile komuś się podoba ten rodzaj poczucia humoru rzecz jasna.