Postawiona niedawno zagadka o grze dla przeciętniaków nie jest całkiem banalna - ale też nie jakoś wybitnie trudna.
Przypomnę o co chodzi: każdy z graczy A, B, C wybiera w każdej rundzie liczbę między 0 a 10 - tak żeby pozostali gracze nie widzieli - rundę wygrywa gracz, którego liczba jest pośrodku pozostałych dwóch (w przypadku powtórzeń zwycięzcę losuje się) - zwycięzca dostaje tyle punktów ile sobie zapisał - po pięciu rundach wygrywa ten gracz, którego suma punktów ze wszystkich rund jest pomiędzy wynikami pozostałych dwóch graczy - remisy rozstrzyga się losowaniem. Po 4 rundach gracze mają odpowiednio 6, 8, 10 punktów. Gracz A wybiera w piątej rundzie liczbę 3, ale gracze B i C widzą tą liczbę (i wiedzą, że ten drugi też ją widzi) i muszą zagrać optymalnie, żeby zmaksymalizować swoje szanse na wygraną.
Zaczniemy od tego, że jeżeli gracz A wygra tę rundę, będzie miał łącznie 9 punktów, czyli wygra całą grę. Tak więc gracze B i C muszą temu zapobiec.
Gracz C ma obecnie najwięcej punktów z całej trójki, a więc jeżeli chce mieć jakiekolwiek szanse na wygraną, nie może wygrać tej rundy, czyli musi strzelać w jedną ze skrajnych wartości (0 lub 10).
Załóżmy, że C wybierze 0. B nie wie co wybrał C. Żeby wygrać całą grę, B musi wybrać 1 (wtedy wygrywa tę rundę i ma 9 punktów z pięciu rund). Wiedząc o takiej możliwości C nie ryzykuje i wybiera 10.
Gracz B analizuje możliwości gracza C i wie, że tamten wybierze 10 jako najmniej ryzykowną wersję. Jeżeli teraz B wybierze jakąkolwiek liczbę inną niż 10 - przegra. Jeżeli wybierze 10 - będzie miał 50% szans na wygraną w tej rundzie, która jednocześnie zagwarantuje mu przegraną w pięciu rundach.
A więc gracze B i C obydwaj wybierają numer 10, a następnie liczą na łut szczęścia w losowaniu - którykolwiek z nich przegra rundę 5, ten wygra całą grę.
Można też kombinować, żeby każdy wybrał trójkę, ale wtedy szanse na wygraną każdego gracza spadają do 33.(3)%.
A jak Wam poszło?
1Najpierw odezwał się Waldek, któremu wyszło kilka możliwych rozwiązań - niestety z błędnego rozumowania:
Jeżeli "B zapisuje 1" to żeby wygrać tę rundę (i tym samym całą grę) C musi wybrać 0. Ale jak już było wspomniane, C wie o takiej możliwości, więc na pewno nie wybierze 0.
2Dwa dni później, przed południem, swoją odpowiedź nadesłał Cichy - również błędną:
Jeżeli Czesław wybierze trójkę a Bartek coś innego, i jeżeli Czesław wygra tę rundę w losowaniu z Alicją (50:50), dopiszą mu się trzy punkty do już zdobytych dziesięciu, tym samym grę wygrywa Bartek ze swoimi ośmioma punktami.
Jeżeli Czesław wybierze trójkę a Bartek coś innego, i Czesław przegra tę rundę z Alicją (50:50), wówczas Alicji dopiszą się trzy punkty do już posiadanych sześciu, a z dziewięcioma punktami wygrywa ona całą grę.
Tak więc jeżeli Bartek wybierze coś innego niż 3, Czesław wybierając 3 ma zagwarantowaną przegraną.
Jeżeli natomiast obydwaj B i C wybiorą trójkę, wówczas może wystąpić jeden z trzech scenariuszy (każdy z szansą 1/3):
- Rundę wygrywa Alicja. Z dziewięcioma punktami wygrywa też całą grę.
- Rundę wygrywa Bartek. Dopisują mu się 3 punkty. ABC mają teraz odpowiednio 6,11,10 pkt - grę wygrywa Czesław.
- Rundę wygrywa Czesław. Dopisują mu się 3 punkty. ABC mają teraz 6,8,13 - grę wygrywa Bartek.
Tak więc jeżeli obydwaj B i C wybiorą trójkę, mają tylko 1/3 szansy na wygranie całej gry (a nie 2/3). Wiedząc o tym, Czesław na pewno nie wybierze trójki - dziesiątka daje mu większe szanse na wygraną (50% zamiast 33.(3)%).
3Waldek przespał się z problemem i na świeży łeb zaatakował go raz jeszcze - tym razem już porządnie, po waldkowemu, z fanfarami i szczegółową rozpiską w kolorze. Zaliczam 🙂
4Czwartym i ostatnim rozwiązującym był Rozie, który dosłownie na dwie godziny przed upływem terminu nadesłał liczby 0 i 3, bez uzasadnienia. Nie zaliczam.
Moje rozwiązanie zaginęło czy nie zakwalifikowało się z ze względów formalnych?
Ani ani. Po prostu mam od dwóch dni lekkie urwanie du*y (zagwiazdkowałem „p” żeby nie używać słowa „dupa” na bądź co bądź publicznym blogu) i dopiero miałem chwilę, żeby siąść do blogu.
Aj, nieuważnie przeczytałem zagadkę i mi umknęło, że całą grę wygrywa środkowy gracz, a nie ten z największą liczbą punktów. Teraz rozumiem, czemu mi się ta zagadka wydawała podejrzanie łatwa.