Kwadratowa zagadka – rozwiązanie

Zagadka jest wbrew pozorom całkiem banalna, o ile ktoś podejmie wysiłek przyglądnięcia się jej z bliska.

Przypomnę, szukamy takiej liczby kwadratów, której nie da się uzyskać dzieląc kwadrat na mniejsze kwadraty.

1 odpada (przypadek szczególny, na początku mamy jeden kwadrat).

2 i 3 na pewno są częścią rozwiązania: nie da się podzielić kwadratu na dwa lub trzy kwadraty.

Kwadrat można podzielić na cztery mniejsze kwadraty, co zwiększa łączną ilość kwadratów o trzy (cztery doszły, jeden zniknął). A więc 1, 4, 7, 10 i tak dalej odpadają.

Tu na przykład mamy podział na 7 części:

A co z 5?

Na pięć kwadratów podzielić kwadratu się nie da. W rozwiązaniu więc na pewno pojawiają się liczby 2, 3, 5.

A 6?

Jak najbardziej! Nikt przecież nie mówił, że musimy dzielić na równe części:

Zauważmy też, że ten większy kwadrat (numer 6 na obrazku powyżej) można powiększyć trochę bardziej, w efekcie dostaniemy 8 kwadratów:

Proces ten można powtarzać w nieskończoność, za każdym razem dodając dwa kwadraty: jeden w pionie, drugi w poziomie.

Jednak do znalezienia odpowiedzi wystarczy nam wiedza, że kwadrat można podzielić na 4, 6, 7 lub 8 części. Oznacza to bowiem, że do początkowej jedynki dodajemy zawsze 3, 5, 6 lub 7 kwadratów (o jeden mniej, bo ten “krojony” kwadrat zawsze znika). Skoro możemy zawsze dodać 3, to znaczy, że w rozwiązaniu nie mogą pojawić się liczby postaci 1+3n (czyli wspomniane na początku 1, 4, 7, 10, …).

Dodanie piątki daje nam 1+3n+5=3n+6, czyli 3m

Dodanie szóstki daje nam 1+3n+6 czyli 3n+7 czyli 3m+1

Dodanie siódemki daje nam 1+3n+7 czyli 3n+8 czyli 3m-1

Innymi słowy zawsze możemy uzyskać liczbę kwadratów postaci 3m-1, 3m lub 3m+1 (dla m naturalnego), z wyjątkiem 2, 3 i 5.

Liczby 3m-1, 3m, 3m+1 pokrywają całą oś współrzędnych (każda liczba całkowita jest albo wielokrotnością trójki, albo jest o jeden mniejsza od wielokrotności trójki, albo o jeden większa). Tym samym 2, 3, 5 to prawidłowe rozwiązanie zagadki.

A jak Wam poszło?

Nie za dobrze. Wszyscy trzej rozwiązujący (Waldek, Rozie i Butter) uznali, że podział na cztery części jest jedynym dopuszczalnym, chociaż w treści zadania wyraźnie sugeruję, że podział taki jest jedynie przykładowy – i to dwukrotnie:

To już druga z rzędu zagadka, kiedy Czytelnicy grzęzną nie w matematyce, ale w części językowej. Zaczynam dochodzić do wniosku, że albo zacznę lepiej pisać, albo przejdę z blogowania na kopanie rowów (które nota bene też mi nie idzie zbyt dobrze – sprawdzone…)

Ponieważ nikt inny się za zagadkę nie zabrał, potraktuję ją jako lekcję pokory. Już poprzednim razem obiecywałem sobie, że będę pisał bardziej zrozumiale, ale jak widać wyszło jak zwykle.

Wiadro popiołu na łeb, alleluja i do przodu!

Zapisz się
Powiadom o
guest
8 komentarzy
Inline Feedbacks
Zobacz wszystkie komentarze
8
0
Zapraszam do skomentowania wpisu.x
()
x