Bierzemy dowoln膮 liczb臋 naturaln膮 N.
Liczymy z niej silni臋 i dodajemy jedynk臋.
W efekcie dostajemy kwadrat innej liczby naturalnej X.
Da si臋?
Da si臋!
Sprawd藕my:
\(4!+1=25=5^2\) \(5!+1=121=11^2\) \(7!+1=5041=71^2\)Na razie wszystko pi臋knie. Pytanie - co dalej?
A no w艂a艣nie, nie wiadomo. Pewien francuski meteorolog i matematyk z prze艂omu XIX i XX wieku zada艂 sobie pytanie, czy istniej膮 liczby N oraz X, inne od tych powy偶ej, kt贸re spe艂niaj膮 tak膮 r贸wno艣膰. I chocia偶 pytanie wydaje si臋 by膰 trywialne, jak na razie nie uda艂o si臋 na nie odpowiedzie膰 nawet najt臋偶szym matematycznym g艂owom.
(nawiasem m贸wi膮c, te trzy pary liczb nazywaj膮 si臋 liczbami Browna - st膮d taki tytu艂 dzisiejszego wpisu)
Wygl膮da na to, 偶e Pierre Ren茅 Jean Baptiste Henri Brocard mia艂 wrodzon膮 zdolno艣膰 do zadawania trudnych pyta艅. Nie do艣膰, 偶e kombinowa艂 z silniami, to postawi艂 te偶 inn膮 hipotez臋 zwi膮zan膮 tym razem z liczbami pierwszymi. R贸wnie偶 nieudowodnion膮 do dzi艣.
Hipoteza owa m贸wi, 偶e pomi臋dzy kwadratami dw贸ch kolejnych liczb pierwszych P(n) oraz P(n+1) istniej膮 co najmniej cztery inne liczby pierwsze, dla ka偶dego n>1.
Faktycznie, dla n=2 mamy:
P(n)=3
P(n+1)=5
Mi臋dzy 9 a 25 jest pi臋膰 liczb pierwszych (11, 13, 17, 19, 23).
Dla n=3, czyli mi臋dzy 25 a 49, mamy sze艣膰 liczb pierwszych: 29, 31, 37, 41, 43, 47.
I tak dalej - czym wi臋ksze n, tym (statystycznie) wi臋cej liczb pierwszych znajduje si臋 mi臋dzy odpowiednimi kwadratami - ale do dzi艣 nie uda艂o si臋 udowodni膰, 偶e gdzie艣 tam nie pojawi si臋 takie n, 偶e mi臋dzy \(P^2_n\) oraz \(P^2_{n+1}\) b臋d膮 tylko trzy liczby pierwsze. Albo dwie...
Jako ciekawostk臋 nale偶y od razu przytoczy膰 hipotez臋 poniek膮d odwrotn膮 do powy偶szej: mi臋dzy ka偶dymi kwadratami dw贸ch kolejnych liczb naturalnych znajduje si臋 co najmniej jedna liczba pierwsza. Postawi艂 j膮 inny Francuz, 偶yj膮cy oko艂o stu lat wcze艣niej, mianowicie Adrien-Marie Legendre. I podobnie jak hipoteza jego meteorologicznego kolegi, ta r贸wnie偶 pozostaje nierozwi膮zana.
W 艣wiecie matematycznym istnieje silne przekonanie, 偶e obydwie te hipotezy s膮 prawdziwe - ale udowodni膰 si臋, p贸ki co, nie da艂o...
Dziwny 艣wiat.
Je偶eli chcesz do komentarza wstawi膰 kod, u偶yj sk艂adni:
[code]
tutaj wstaw sw贸j kod
[/code]
Je偶eli zrobisz liter贸wk臋 lub zmienisz zdanie, mo偶esz edytowa膰 komentarz po jego zatwierdzeniu.