Liczby Browna, problem Brocarda i legenda Legendre’a

https://xpil.eu/A4KhN 📋

Bierzemy dowolną liczbę naturalną N.

Liczymy z niej silnię i dodajemy jedynkę.

W efekcie dostajemy kwadrat innej liczby naturalnej X.

Da się?

Da się!

Sprawdźmy:

\(4!+1=25=5^2\) \(5!+1=121=11^2\) \(7!+1=5041=71^2\)

Na razie wszystko pięknie. Pytanie - co dalej?

A no właśnie, nie wiadomo. Pewien francuski meteorolog i matematyk z przełomu XIX i XX wieku zadał sobie pytanie, czy istnieją liczby N oraz X, inne od tych powyżej, które spełniają taką równość. I chociaż pytanie wydaje się być trywialne, jak na razie nie udało się na nie odpowiedzieć nawet najtęższym matematycznym głowom.

(nawiasem mówiąc, te trzy pary liczb nazywają się liczbami Browna - stąd taki tytuł dzisiejszego wpisu)

Wygląda na to, że Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard miał wrodzoną zdolność do zadawania trudnych pytań. Nie dość, że kombinował z silniami, to postawił też inną hipotezę związaną tym razem z liczbami pierwszymi. Również nieudowodnioną do dziś.

Hipoteza owa mówi, że pomiędzy kwadratami dwóch kolejnych liczb pierwszych P(n) oraz P(n+1) istnieją co najmniej cztery inne liczby pierwsze, dla każdego n>1.

Faktycznie, dla n=2 mamy:
P(n)=3
P(n+1)=5
Między 9 a 25 jest pięć liczb pierwszych (11, 13, 17, 19, 23).
Dla n=3, czyli między 25 a 49, mamy sześć liczb pierwszych: 29, 31, 37, 41, 43, 47.

I tak dalej - czym większe n, tym (statystycznie) więcej liczb pierwszych znajduje się między odpowiednimi kwadratami - ale do dziś nie udało się udowodnić, że gdzieś tam nie pojawi się takie n, że między \(P^2_n\) oraz \(P^2_{n+1}\) będą tylko trzy liczby pierwsze. Albo dwie...

Jako ciekawostkę należy od razu przytoczyć hipotezę poniekąd odwrotną do powyższej: między każdymi kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza. Postawił ją inny Francuz, żyjący około stu lat wcześniej, mianowicie Adrien-Marie Legendre. I podobnie jak hipoteza jego meteorologicznego kolegi, ta również pozostaje nierozwiązana.

W świecie matematycznym istnieje silne przekonanie, że obydwie te hipotezy są prawdziwe - ale udowodnić się, póki co, nie dało...

Dziwny świat.

https://xpil.eu/A4KhN 📋