Ostatnio obrodziły nam wpisy o tematyce cyferkowej.
Tym razem też będziemy podnosić do potęgi, ale nie do jakiejś nie wiadomo jakiej n-tej tylko po ludzku, do trzeciej.
Pytanie postawione 65 lat temu przez jajogłowych z Cambridge brzmi: czy da się przedstawić każdą liczbę od 0 do 100 jako sumę trzech sześcianów?
W pierwszej kolejności odrzucono wszystkie liczby, które przy dzieleniu przez 9 dają resztę 4 lub 5. Dla nich bowiem udowodniono brak możliwości znalezienia rozwiązania.
Dzieje się tak, ponieważ reszta z dzielenia N³ przez 9 to zawsze -1, 0 lub 1. Suma trzech takich liczb da w dzieleniu przez 9 resztę między -3 a 3, czyli reszty 4 i 5 odpadają.
A dlaczego N³ dzielone przez 9 zawsze daje resztę -1, 0 lub 1? To proste:
Zapisujemy N jako 3a+b (dla b=0, 1 lub 2) i podnosimy do trzeciej potęgi:
\( (3a+b)^3 = 9(3a^3+3a^2b+ab^2) + b^3 \)Jak widać wynik jest wielokrotnością dziewiątki zwiększoną o b³, a skoro b jest 0, 1 lub 2, to b³ jest 0, 1 lub 8. A 8 to w arytmetyce modulo 9 tyle samo co -1.
Względnie szybko udało się znaleźć rozwiązania dla wszystkich pozostałych liczb oprócz 33 oraz - uwaga - 42.
Rok 2019 okazał się wyjątkowo płodny: w marcu znaleziono rozwiązanie dla 33:
8,866,128,975,287,528³ + (–8,778,405,442,862,239)³ + (–2,736,111,468,807,040)³ = 33
A kilka dni temu znaleziono rozwiązanie dla ostatniej opierającej się liczby, czyli właśnie 42:
(–80,538,738,812,075,974)³ + 80,435,758,145,817,515³ + 12,602,123,297,335,631³ = 42
Najmniejsza znana obecnie liczba, której rozkład na sumę trzech sześcianów jest nieznany to 114.
Nie ma póki co metody efektywnego wyszukiwania takich sum. Nie ma też żadnego dowodu na to, że sumy takie da się znaleźć dla wszystkich liczb naturalnych (z wyjątkiem tych z resztą 4 lub 5).
Wszelkie znaki na niebie i ziemi wskazują, że jeżeli nawet dowód taki uda się poprawnie skonstruować, będzie on najprawdopodobniej z gatunku nieefektywnych: wykaże, że każdą taką liczbę da się przedstawić jako sumę trzech sześcianów, ale nie poda metody na ich odszukanie (innej niż próbowanie w ciemno kolejnych kombinacji...)
Ach, i jeszcze jedno. Dosłownie kilka godzin przed publikacją tego wpisu znajomy podesłał mi informację, że udało się niedawno odnaleźć trzecią reprezentację trójsześcienną liczby 3. Dwie pierwsze są dość banalne:
13+13 + 13 = 3
43 + 43 + (-5)3 = 3
Trzecia natomiast już tak banalna nie jest:
5699368212219623807203 + (-569936821113563493509)3 + (-472715493453327032)3 = 3
Tak to jest jak się ma dziwnych znajomych!
Ja w ogóle pierwszy raz słyszę o takiej zagwozdce!
Ale ostatnio jaram się dosłownie każdą dziedziną nauki. Nawet tak znienawidzoną przeze mnie w czasach szkolnych matematyką!