Dziś raz jeszcze pobawimy się matematyką. Nie będziemy jednak żonglować setką kilogramów marsjańskich kartofli, które są tworem wymyślonym, nieprawdziwym i bzdurnym - nie. Zamiast tego zajmiemy się nieskończonościami, które są tworami wymyślonymi, nieprawdziwymi, bzdurnymi oraz kompletnie abstrakcyjnymi.
Zaprzęgniemy do tej żonglerki zwykłą, ludzką logikę, w wyniku czego wyjdzie nam całkiem ludzki, logiczny wynik.
Uwaga: dalsza lektura tego wpisu wymaga umiejętności dodawania liczb całkowitych w zakresie 1-10, jak również dzielenia przez cztery...
Lecimy.
Wyobraźmy sobie ciąg arytmetyczny o elemencie początkowym równym jeden oraz różnicy równej jeden.
O, taki:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Proste?
Na razie proste.
Ile wynosi suma wszystkich wyrazów tego ciągu?
Na pierwszy rzut oka wydawać by się mogło, że nieskończoność.
I dobrze by się mogło wydawać, bo to jest faktycznie nieskończoność. Póki co - żadnych pułapek. Widownia zaczyna ziewać.
No to teraz zróbmy mały hokus-pokus i do każdego elementu naszego ciągu, stojącego na parzystej pozycji, dodajmy z przodu minus:
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
Pytanie pozostaje bez zmian: ile wynosi suma wszystkich wyrazów naszego nowego ciągu?
Widownia, lekko już pochrapująca, powinna teraz nadstawić ucha. Albowiem pytanie o sumę wszystkich elementów takiego ciągu jest kompletnie pozbawione sensu. Przecież sumujemy na przemian wyrazy ujemne oraz dodatnie, o coraz większych wartościach (absolutnych, gwoli ścisłości). A więc kolejne sumy cząstkowe wynoszą: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ... i tak dalej, aż do plus-minus nieskończoności. Nie da się więc zsumować takiego szeregu, prawda?
Niby prawda.
Aczkolwiek...
Weźmy sobie cztery identyczne kopie naszego dziwnego ciągu, o tak:
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
Przesuńmy je odrobinę względem siebie:
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ...
I teraz spróbujmy je do siebie dodać, w pionie:
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
Zgadza się?
Wychodzi na to, że po dodaniu czterech identycznych kopii naszego rozbieżnego ciągu, w wyniku dostajemy jedynkę.
Skoro suma czterech identycznych egzemplarzy wynosi jeden, to znaczy, że pojedynczy ciąg sumuje się do jednej czwartej, c'nie?
I to jest właśnie poprawna odpowiedź, a nie żadne tam plus czy minus nieskończoności.
Na zakończenie dodam jeszcze, że powyższe zagadnienie, chociaż opisane lekko, prosto i przyjemnie, jest tylko wierzchołkiem góry lodowej. A pod powierzchnią pływają rekiny różnych groźnych gatunków, na przykład funkcja eta Dirichleta (rym i rytm niezamierzony) czy też funkcja zeta Riemanna. Ale o tym napiszę może w innym wcieleniu...
No i wyprostowaly mi sie zwoje…. no bo jak? Jak to mozliwe, ze suma liczb calkowitych w pojedynczym ciagu daje ulamek?
No przecież pokazałem jak 😉 I to bez wychodzenia poza dwa podstawowe działania matematyczne w zakresie 1-10 😉
Panie, nie takie rzeczy się w PRLu działy….
No wlasnie… dlatego mi sie wyprostowaly