Postawiona niedawno zagadka o kwadratowych kocykach nie jest wcale taka trudna. Wystarczy odrobina skupienia. Krzysiek podał już poprawne rozwiązanie w komentarzu; zobaczmy teraz jak można dojść do tego wyniku:
Pojedynczy kwadrat 4x4 składa się z szesnastu małych kwadracików. Jeżeli jego górny lewy narożnik jest w kolorze X, prawdopodobieństwo, że pozostałych 15 kwadracików ma ten sam kolor wynosi \((1/3)^{15}\), a więc prawdopodobieństwo, że tak nie jest wynosi \(1-(1/3)^{15}\).
Takich kwadratów 4x4 jest na całym kocyku 97x97=9409. Żeby kocyk przeszedł kontrolę, żaden z tych 9409 kwadratów nie może być w całości wykonany z tego samego koloru, a więc należy prawdopodobieństwo wyliczone w poprzednim akapicie przemnożyć przez siebie 9409 razy: \((1-(1/3)^{15})^{9409}\).
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, a więc takiego, że przynajmniej jeden z kwadratów 4x4 będzie wykonany w tym samym kolorze, wynosi zatem: \(1-((1-(1/3)^{15})^{9409})\).
Po wrzuceniu powyższego wyrażenia w Wolfram Alpha otrzymamy:
0.000655514466914948168851606215627631627995142626904364838…
... czyli jakieś 0.066%.
Innymi słowy do odrzutu trafi średnio sześć do siedmiu kocyków na każde dziesięć tysięcy.
Nie tak źle.
Proszę o szczegółowe obliczenia dla danych z drugiego akapitu 😉
W sensie że jak, rzymskimi cyframi mam to rozpisać? Czy rozbić na poszczególne zera i jedynki? 🙂
Szczegóły, jak to jest wyliczone – jak na lekcji matematyki 😀
No więc tak: cztery razy cztery jest szesnaście, bo jak się czwórkę do siebie doda cztery razy to wychodzi szesnaście. A dalej to już prosto…
Niech będzie, że prosto, zakładasz widać, że zaglądają tu jeno osoby, które pamiętają coś z lekcji matematyki. Mniejsza.
O co innego mnie biega. To jest, jak rozumiem, prawdopodobieństwo dla kolejnego pojawienia się szesnastu takich samych kolorów. Czy zatem kocyk jest robiony nie ciągiem, ale czwórkami, które potem są zszywane?
Technika / kolejność łączenia poszczególnych kwadratów nie ma tu znaczenia:
Czyli wszystkie pojedyncze kwadraciki są od siebie niezależne. Maszyna może je zszywać liniowo czy po kwadratach czy kurna po trójkątach nawet, wsioryba.
Pytanie jest o prawdopodobieństwo pojawienia się co najmniej jednego kwadratu 4×4 w jednolitym kolorze, na całym kocu 100×100.
Ale jeśli pojedyncze kwadraciki będą zszywane liniowo, to sekwencja 16x pojawi się dla linii, a nie dla kwadratu. Dla kwadratu trzeba szukać prawdopodobieństwa dla ciągu, w którym czterokrotnie pojawiają się ciągi 4x oddzielone dowolną sekwencją o określonej długości.
Powtórzę raz jeszcze: ponieważ kolor każdego kwadracika jest losowany niezależnie od każdego innego, nie ma znaczenia w jakiej kolejności kwadraciki są łączone. Jedyne, co ma znaczenie, to ilość kwadracików w grupie (w tym przypadku: 16) oraz ilość grup (tutaj: 47×47). Aha, no i ilość kolorów oczywiście (tu: 3). Istnieje bardzo podobna zagadka, w której pytanie brzmi ile potrzeba różnych kolorów, żeby prawdopodobieństwo, że wśród miliona kocyków nie będzie ani jednego do odrzutu, wynosiło mniej niż 1%. Ale to już nieco wyższa matematyka, której kompletnie nie łapię. (odpowiedź brzmi bodajże 6 albo 7)
Dobra, chyba doszedłem, w czym rzecz. Tu nie idzie o żadną konkretną grupę, figurę itp., ale o prawdopodobieństwo tego, że szesnaście wyznaczonych z góry kwadratów będzie miało ten sam kolor. Czy one będą koło siebie, czy będą rozrzucone – nie ma znaczenia.
Z tym „nie ma znaczenia” to trzeba ostrożnie. Jeżeli zamiast kwadratów 4×4 wybierzesz jakiś inny kształt, to ilość możliwych aranżacji danego kształtu na kocu 100×100 będzie prawdopodobnie inna niż 97×97. Przykładowo linię długą na 16 kwadracików (czyli prostokąt 1 x 16) możesz na kocu 100×100 ułożyć na 17000 różnych sposobów (8500 w pionie i 8500 w poziomie), czyli prawdopodobieństwo porażki (trafienia na linię 16 kwadracików o tym samym kolorze) zwiększy się, a tym samym więcej kocyków pójdzie do wyrzucenia (średnio około 12 koców na 10K będzie miało linię 16 kwadracików w jednym kolorze).
Jasne, ale mnie szło tylko o pierwszą część, czy prawdopodobieństwo szesnastu kwadratów w tym samym kolorze. Przy innym kształcie, a właściwie obrysie kształtu, bo kwadraty nie muszą się łączyć, inne obliczenia będą dla całości.
Mógłbyś wydziergać powerszelem czy czymś takim kilka takich kocyków jako ilustrację wpisu?
A jakie jest prawdopodobieństwo idealnie równomiernego rozłożenia kolorów?
Kolejne pytania wkrótce.
Idealnie równomiernego czyli? Najpierw same A, potem same B, a na koniec same C? Czy wszystko tylko A? Czy trójka ABC powtórzona 33 razy? Czy może żeby łączna ilość kwadracików w każdym kolorze była możliwie taka sama dla każdego koloru?
abcabc – jak w walczyku.
Czyli szukasz prawdopodobieństwa jednego, konkretnego ustawienia wszystkich 10K kwadracików. Czyli (1/3)^10000 = 6.13 * 10^(-4772). Można przyjąć takie prawdopodobieństwo za zerowe, nawet jeżeli dopuścisz bcabcabca… oraz cabcabcab…
Za pomocą prostego RANDBETWEEN i odrobiny formatowania warunkowego udało mi się w parę chwil wyczarować w Excelu takie coś:
https://i.imgur.com/MUl8GMH.png