Tajemnica 290

https://xpil.eu/dJu13 📋

Dziś będzie matematycznie. Czytelników o słabo wykształconym gruczole numerycznym prosimy o zapięcie pasów i podkręcenie uwagi na 80%.

Cóż interesującego jest w liczbie 290? Dlaczego jest ona taka tajemnicza?

Hm, od czego by tu zacząć...

Weźmy wyrażenie:

\(w^2+x^2+y^2+z^2\)

Cóż w nim takiego tajemniczego?

Otóż okazuje się, że podstawiając za w, x, y oraz z rozmaite liczby całkowite nieujemne (a więc, dopuszczamy zero), możemy w wyniku takiego dodawania otrzymać każdą (bez wyjątków!) nieujemną liczbę całkowitą. Od zera do nieskończoności!

A teraz zróbmy małe fiku-miku i odrobinę skomplikujmy początkowe wyrażenie. Przemnóżmy niektóre jego wyrazy przez różne liczby całkowite:

\(w^2+2 x^2+5 y^2+5 z^2\)

Czy teraz również da się uzyskać każdą liczbę całkowitą dodatnią?

Okazuje się, że nie. Istnieje dokładnie jedna liczba dodatnia, której się z powyższego wyrażenia otrzymać nie da: 15. Wszystkie inne, aż do nieskończoności, się da.

No i teraz przechodzimy do samego gęstego: skąd wiadomo, czy wyrażenie postaci:

\(a w^2+b x^2+c y^2+d z^2\)

, gdzie a, b, c i d to liczby całkowite dodatnie, generuje wszystkie liczby całkowite dodatnie, czy nie?

Otóż okazuje się, że wystarczy sprawdzić wszystkie liczby całkowite od 1 do 290 - jeżeli wyrażenie potrafi wygenerować każdą z nich, to znaczy, że dalej sprawdzać nie trzeba - na pewno da się wygenerować wszystkie pozostałe liczby całkowite dodatnie (aż do nieskończoności).

Dowód powyższego (s)twierdzenia wykracza poza ramy tego bloga (czytaj: autor jest za leniwy oraz za głupi, żeby ów dowód zrozumieć, a następnie objaśnić) - jeżeli jednak ktoś jest zainteresowany dalszym drążeniem tematu, zapraszam. Słowo klucz: universal quadratic forms (to aż trzy słowa-klucze). Ewentualnie: Ramanujan.

Na zakończenie, jako ciekawostkę, dodam jeszcze, że takich kombinacji a, b, c i d, które generują wszystkie liczby całkowite dodatnie, jest dokładnie 54. Tego też nie będziemy teraz udowadniać 🙂

 

https://xpil.eu/dJu13 📋