W zagadce chodzi o to, aby wskazać Królowi masę jednej z jedenastu kul (ważących po kolei od 1 do 11kg) za pomocą wagi szalkowej z ograniczeniem do 11kg na szalkę, w minimalnej liczbie ważeń, przy czym my wiemy która kula jest która, a Król wie tylko tyle, że kule ważą od 1 do 11, ale nie wie która jest która.
Pierwsze rozwiązanie, które przyszło do głowy każdemu wielu rozwiązującym niektórym rozwiązującym mi jest takie: zaczynamy od położenia na lewej szalce kul 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg (razem 10 kg), a na prawej kul 5 kg i 6 kg (razem 11 kg). Lewa szalka idzie w górę, prawa - w dół. Jest to (z wyłączeniem symetrii tj. zamianą szalek) jedyna kombinacja sześciu kul, przy której nie przekraczamy limitu 11kg na szalkę. Król widzi, że waga się nie zepsuła, widzi też sześć kul na wadze, a więc wie, że po lewej stronie są 1,2,3,4 a po prawej 5,6 - ale nie wie która jest która.
W następnym kroku zamieniamy miejscami kule 4 kg i 5 kg. Tak więc na lewej szali mamy teraz 1, 2, 3, 5 (razem: 11 kg) a na prawej 4, 6 (razem: 10 kg). W dalszym ciągu nie przekroczyliśmy 11 kg na szalkę, ale teraz lewa szalka poszła w dół a prawa - w górę.
Kule 4kg/5kg to jedyna możliwa para, przy której zamiana kul miejscami nie spowoduje przekroczenia 11kg na szalkę - a więc właśnie wskazaliśmy Królowi trzy kule o znanych masach, w dwóch ważeniach. (Czemu trzy? Bo ujawniając kule 4 i 5 przy okazji ujawniliśmy też 6)
Czy da się lepiej?
Okazuje się, że tak. Można bowiem na lewej szalce położyć znów kule 1, 2, 3, 4 kg (razem 10 kg), a na prawej - kulę 11 kg. Nadal jesteśmy w granicach limitu 11 kg na szalkę i jest to jedyna taka kombinacja pięciu kul, przy której cztery są lżejsze od jednej.
Tak więc odpowiedź brzmi: minimum to jedno ważenie, a Król wie teraz która kula waży 11 kg.
A jak Wam poszło? Całkiem ciekawie! Początek taki sobie, ale potem się rozkręciło.
1Najpierw odezwał się Rafał, który pokazał jak można wskazać kulę 11kg za pomocą zaledwie pięciu ważeń. Metoda poprawna i być może można by to rozwiązanie zaliczyć gdyby gdziekolwiek w zadaniu było wspomniane, że na jednej szalce można kłaść tylko jedną kulę. Jednak pięć to zdecydowanie za dużo. Nie zaliczam.
2Poprzednie rozwiązanie nie dawało Rafałowi spokoju i po niecałym kwadransie nadesłał drugie, lepsze, oparte na dwóch ważeniach. W dalszym ciągu nie zaliczam, ale dobrze obserwuje się rafałowy tok rozumowania 🙂
3Jeszcze tego samego dnia swoje rozwiązanie przysłał Waldek. Nadal dwa ważenia (nie zaliczam) oraz trzy kule ujawnione Królowi - proporcja identyczna jak w moim pierwszym podejściu do rozwiązania.
4Całkiem już pod wieczór temat pozamiatał Cichy. Zaliczam i gratuluję wygranej!
Z innej beczki, warto poczytać u Cichego wpis o grach, w które łoił w 2021 roku - bardzo zacna lista: !klik!
5Nazajutrz odezwał się Rzast, któremu udało się rozwiązać zagadkę w dwóch ważeniach. Nie zaliczam.
6Zaraz po Rzaście drugie podejście do tematu wykonał Waldek - tym razem o wiele bardziej interesujące. Nie tylko podał poprawne rozwiązanie z jednym ważeniem, ale dodatkowo rozpisał minimalną (chyba) liczbę ważeń pozwalających ujawnić Królowi masę każdej kuli, które dodatkowo poprawia poprzednio uzyskaną proporcję liczby ważeń do liczby ujawnionych kul:
7Potem były dwa dni ciszy, aż tu nagle we wtorek po południu swoje rozwiązanie nadesłał Rozie:
To przyznaję, że nie było tak prosto, jakby wyglądało. A skoro tok myślenia uczestników interesuje autora, to spróbuję opisać.
Najpierw przeczytałem opis zagadki pobieżnie na telefonie, stwierdziłem, że to trzeba na spokojnie, albo na komputerze. Bo też przychodziło mi N ważeń i wyznaczanie masy kul. I nawet kołatało mi, że trzeba wyznaczyć masę wszystkich, żeby mieć pewność. Czyli zakładałem, że chodzi o takie grupowanie kul, żeby nie zerwać szalki, ale ważeń było jak najmniej.
Potem… zapomniałem o zagadce. Po paru dniach sobie przypomniałem i ucieszyłem się, że jeszcze można przysyłać rozwiązania.
Przeczytałem treść, zdumiałem się, że ale jak to, przecież my wiemy która kula jest która, nie trzeba wyznaczać mas! Oraz, że król chce dowolną kulę o znanej masie, a nie wybierać. No i w zasadzie było z górki. Najpierw chodziło mi po głowie, by wziąć 1 i 2 kg i porównać z 3 kg, ale takich par jest więcej. Do tego gdzieś kołatał mi się po głowie niejasny pomysł z pierwszego, pobieżnego odczytu treści, że ważna jest kula o ostatniej wyznaczonej masie, czyli może być skrajna. Uwagę też przykuła data zamieszczenia zadania, więc pomyślałem ej, a może da się w jednym ważeniu?
Co prawda najpierw przez sekundę myślałem o równościach (1, 2 i 3 = 6), ale jak dołożyłem 4 do pierwszej strony, to był game over.