Phi, też mi kwadrat

Opowieść o bliskim krewnym ciągu Fibonacciego.

Stali czytelnicy blogu kojarzą już, że Fibonacci i jego ciąg są stałymi gośćmi na tym blogu.

Dziś pokażę pewną dość oczywistą, a zarazem dość mało znaną właściwość ciągu „fibonacciopodobnego”, a konkretnie ciągu zaczynającego się od jedynki oraz \(\phi\).

Niezorientowanym w greckiej mitologii przypominam, że literką \(\phi\) oznacza się tradycyjnie wartość Złotego Podziału, a więc proporcji, która dzieli odcinek na takie dwie części, że stosunek mniejszej do większej jest taki sam jak większej do całego odcinka.

Złota proporcja jest spotykana w naturze. Na przykład naturalnie hodowane (a nie żadne tam GMO) kartki A4 mają takie właśnie proporcje wzdłuża do poprzeka.

Natomiast wspomniany trzy akapity wcześniej ciąg fibonacciopodobny tym się różni od tradycyjnego, że zamiast dwóch jedynek zaczyna się właśnie od jedynki oraz \(\phi\), o tak:

\( 1, \phi\)

Zobaczmyż co z niego wynika:

\(1, \phi, 1+\phi, 1+2 \phi, 2 + 3 \phi, 3 + 5 \phi, 5 + 8 \phi, …\)

Na razie nudy, prawda?

Ale teraz małe przypomnienie: skoro mniejsze do większego ma się jak większe do całości, to po paru prostych przekształceniach okazuje się, że jeżeli odcinek ma długość jeden, wówczas Złota Proporcja (czyli nasze \(\phi\)) wynosi:

\(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Jak nietrudno zauważyć \(\phi\) jest rozwiązaniem równania:

1+x=x2

Skoro więc zamiast 1+\(\phi\) można napisać \(\phi^2\), to znaczy, że trzeci wyraz naszego ciągu wynosi \(\phi^2\).

Mamy więc: \(1, \phi, \phi^2\).

A co z czwartym wyrazem?

\(1+2 \phi\) to inaczej \(1+\phi+\phi\) czyli \(\phi^2+\phi\) czyli \(\phi (\phi+1)\) czyli \(\phi \phi^2\) czyli \(\phi^3\)

Mamy więc: Mamy więc: \(1, \phi, \phi^2,\phi^3\).

Hmmm…

Okazuje się, że ciąg Fibonacciego zmodyfikowany w taki sposób, że zamiast dwóch jedynek zaczynamy od jedynki oraz \(\phi\) jest ciągiem geometrycznym!

Wydaje się to dziwne, ale tylko na początku. Jak się człowiek chwilę zastanowi, od razu przypomni sobie, że niezależnie od tego, jakimi dwoma elementami zaczniemy, w nieskończonej granicy każdy taki ciąg będzie dążył do ilorazu kolejnych elementów równego właśnie \(\phi\). Skoro więc „dajemy” ciągowi ten iloraz od razu na początku, nie ma już do czego dążyć, ponieważ cel został osiągnięty na starcie. Nie ma czego ulepszyć. Wystarczy mnożyć kolejne wyrazy przez \(\phi\) – i tyle.

Ot i cała zagadka.

Autor: xpil

Po czterdziestce. Żonaty. Dzieciaty. Komputerowiec. Krwiodawca. Emigrant. Rusofil. Lemofil. Sarkastyczny. Uparty. Mól książkowy. Ateista. Apolityczny. Nie oglądam TV. Uwielbiam matematykę. Walę prosto z mostu. Gram na paru instrumentach. Lubię planszówki. Słucham bluesa, poezji śpiewanej i kapel a’capella. || Kliknij tutaj po więcej szczegółów ||

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!

Powiadom o
avatar
wpDiscuz