Dziś zagadka niebanalna. Prawdopodobnie nie obejdzie się bez kartki i ołówka.
W pizzerii Automateusz & Przyjaciele cięciem pizzy na kawałki zajmują się roboty.
Przed pocięciem pizzy robot musi tylko wiedzieć ile cięć ma wykonać. Dajmy na to, N cięć.
Następnie losuje na obwodzie pizzy 2N punktów (z rozkładem równomiernym), potem z tych 2N losuje N par i tnie po cięciwach.
Dzwonisz do Automateusza i prosisz o pizzę z trzema cięciami.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba kawałków, na które robot potnie Twoją pizzę?
Nagród nie przewiduję 😉
pięć
Jakieś obliczenia na poparcie tej śmiałej tezy czy strzelałeś w ciemno?
Czy robot może wylosować powtórnie ten sam punkt do różnych par?
Nie.
No to tak jak napisał przedmówca, średnio wyjdzie pięć. A właściwie 4,999… bo w jednym przypadku istnieje zbieżne do zera prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy linie przetną się w jednym punkcie. Policzyć to nietrudno, więc nie będę spoilerować.
Nie muszą się przecinać w jednym punkcie, żeby było sześć kawałków. Zaznacz sześć punktów na okręgu, ponumeruj po kolei i połącz tak: 1- 4. 2 – 6, 3 – 5.
Chodziło mi o przypadek 1-4, 2-5, 3-6 – przy losowym rozkładzie punktów na obwodzie taki podział praktycznie zawsze daje siedem kawałków, ale istnieje teoretyczna szansa, że linie się przetną w jednym punkcie i wyjdzie tylko sześć.
Biorąc pod uwagę, że losujemy spośród liczb rzeczywistych, prawdopodobieństwo uzyskania tym sposobem sześciu kawałków wynosi zero. Niemniej jednak cieszę się z dyskusji pd wpisem, jest tu kilka całkiem rozsądnych wywodów w tym wątku 😉
Takie losowanie to: połączenie 1 z 4 -> P(1-4)=1/5, potem P(2-5)=1/3, czyli połączenie “naprzeciwległych” punktów to prawdopodobieństwo równe 1/15. Znaczna większość daje 7 kawałków
Moje łączenie: P(1-4)= 1/5, a potem P(2-6) =1/3, czyli też 1/15, ale zawsze jest 6 kawałków.
Dobrze liczę to prawdopodobieństwo?
Prawdopodobieństwo liczysz chyba dobrze, ale wydaje mi się, że niepotrzebnie. Przeczytaj jeszcze raz treść zadania, zobacz o co pytają.
O liczbę kawałków dla 3 cięć.
To może inaczej. Różne wzory cięć na pizzy za każdym razem.
P(1-2) =1/5, P(3-4)=1/3 => P=1/15 – 4 kawałki (*2 bo symetria lustrzana)
P(1-2) =1/5, P(3-6)=1/3 => P=1/15 – 4 kawałki (*3 bo trzeba rozpatrzyć też cięciwy 1-4 i 2-5)
P(1-2) =1/5, P(3-5)=1/3 => P=1/15 – 5 kawałków (*6 bo trzeba rozpatrzyć też nieprzecinającą cięciwę z 2-3, 3-4, 4-5, 5-6 i 1-6)
P(1-3) =1/5, P(2-5)=1/3 => P=1/15 – 6 kawałków (*3 bo trzeba rozpatrzyć też cięciwy 1-4 i 3-6)
P(1-4) =1/5, P(2-5)=1/3 => P=1/15 – 7 kawałków
W sumie mamy 15 rozwiązań, przy czym:
4 kawałki – 5 razy
5 kawałków – 6 razy
6 kawałków – 3 razy
7 kawałków – 1 raz
Czyli dostaniemy najpewniej 5 kawałków (6/15, czyli 2/5 przypadków), albo 4 (5/15 = 1/3 przypadków)
Uff… Smacznego
Dobrze kombinujesz…
Można to rozwiązać prościej. Po wylosowaniu pierwszego punktu mamy trzy opcje na jego parę:
1. 40% szansy, że trafimy na jeden z dwóch najbliższych punktów, co oznacza cięciwę, której już nic nie przetnie; pozostałe cztery punkty można połączyć na trzy sposoby (równolegle w jedną stronę, równolegle w drugą, lub na krzyż – równo 1/3 szansy na każdy), co nam daje odpowiednio 4, 4 i 5 kawałków.
2. 40% szansy na jeden z dwóch kolejnych punktów, czyli cięciwa z jednym przecięciem, dalsze pary jak wyżej, odpowiednio 5, 5 i 6 kawałków.
3. 20% szansy na przeciwległy punkt, pary odpowiednio 4, 6 i 7 kawałków (w ostatnim przypadku teoretycznie możliwe sześć, ale z nieskończenie małym prawdopodobieństwem).
Średnia ważona z tego wszystkiego, jak łatwo policzyć, wynosi równo pięć.
Ad 1) a przypadek, że odcinamy kawałki brzegów? tzn łączymy 1-2, 3-4 i 5-6: mamy teraz też 4 kawałki i do tego odbicie lustrzane.
Zasadniczo pozamiatałeś temat. We wtorek nastąpi oficjalne rozwiązanie zagadki, ale zbyt wiele to tu się już raczej nie doda.
Sprawdzam empirycznie:
1 cięcie, zawsze 2 kawałki
2 ciecia, albo 3 albo 4 kawałki
3 ciecia, 4, 5, 6, 7 kawałków
4 cięcia: 5-11
ogólnie: dla n cięć mamy od n+1 do ((n+1)n+2)/2 (suma szeregu liczb od 1 do n powiększona o 1) kawałków
Średnio to będzie ((n+1) + ((n+1)n+2)/2)/2, czyli 2n dla parzystych i (4n+1)/2 dla nieparzystych
czyli dla 3 cięć będzie to 5 albo 6 kawałków (z równym prawdopodobieństwem)
Zagmatwane? Może…
Prawidłowe? Hmmm?