Rozwiązanie zagadki o pięćdziesięciu kapeluszach

https://xpil.eu/byq 📋

Zagadka jest wbrew pozorom prosta, a strategia postępowania nie zależy całkiem od tego, czy więźniów jest pięciu, pięćdziesięciu czy pięciuset. Co do szans na przeżycie, to czym więcej ludzi tym lepiej. Przy pięćdziesięciu więźniach mamy 99% szansy na powrót do celi i tylko 1% na szubienicę.

Co więc należy zrobić?

Ostatni więzień usłyszawszy pytanie o kolor swojego kapelusza powinien policzyć wszystkie czarne kapelusze przed sobą i powiedzieć "czarny" jeżeli jest to liczba nieparzysta lub "czerwony" jeżeli nie jest.

Ten więzień nie ma pojęcia o kolorze własnego kapelusza, więc ma 50% szansy na przeżycie. Jeżeli nie trafił, świeć Edisonie nad jego duszą, a jeżeli trafił to nic tylko się cieszyć.

Kolejny więzień liczy czarne kapelusze przed sobą. Jeżeli parzystość kapeluszy przed nim zgadza się z tym, co usłyszał od kolegi z tyłu to znaczy, że on sam ma kapelusz czerwony, a jeżeli jest inna - to czarny.

Za skomplikowane?

Zobaczmy na przykładzie. Gość numer 50 naliczył przed sobą 23 czarne kapelusze, mówi więc "czarny". To jest informacja dla wszystkich pozostałych 49 więźniów, że mają łącznie nieparzystą liczbę czarnych kapeluszy. Jeżeli gość numer 49 też widzi przed sobą 23 czarne kapelusze to wie, że sam musi mieć kapelusz czerwony, więc mówi głośno "czerwony". Reszta teraz wie, że zostało 48 osób a wśród nich cały czas pewna nieparzysta liczba w czarnych kapeluszach. Gość numer 48 widzi przed sobą 22 czarne kapelusze, więc mówi "czarny" i wraca do celi. Teraz reszta wie, że została parzysta liczba kapeluszy. I tak dalej, i tak dalej, każdy kolejny więzień podaje prawidłowy kolor swojego kapelusza, a zdumiony (i poirytowany!) Chytrzyński wraca do swojego biura wymyślać kolejne utrudniacze.

Tym samym nasze szanse na przeżycie wynoszą: 2% żeby dostać ostatnie miejsce w szeregu, a jeżeli nawet tam pechowo trafimy, nadal mamy 50% szans na przeżycie. A więc ostatecznie prawdopodobieństwo przeżycia wynosi 99%.

Całkiem nieźle.

---

Wasze próby rozwiązania zagadki (w kolejności nadsyłania):

1Do zagadki podszedł najpierw Rzast, który uzyskał dokładnie to samo prawdopodobieństwo, ale stosując nieco inną metodę: więzień na końcu kolejki podaje kolor kapelusza więźnia przed nim (ma więc 50% szans), każdy następny więzień podaje kolor swojego kapelusza barytonem jeżeli przed nim jest czarny kapelusz bądź też tenorem, jeżeli czerwony.

Czy można takie rozwiązanie przyjąć? Moim zdaniem nie. W zagadce było wyraźnie powiedziane, że jakakolwiek próba oszustwa skończy się śmiercią wszystkich więźniów. Jest bardzo łatwo stwierdzić, że więźniowie sztucznie modulują swoje głosy, więc Chytrzyński szybko by się zorientował i posłałby wszystkich na szafot. W dodatku niektórzy więźniowie mogą nie umieć rozróżniać barw głosów, co dodatkowo pogarsza skuteczność tej metody.

2Na drugi dzień rozwiązanie nadesłał Tywan - jego metoda daje 75% szans. Więzień na końcu kolejki podaje kolor kapelusza tego przed nim. Ten podaje kolor swojego kapelusza na pewniaka. Następny - kolor tego przed nim. I tak dalej. W ten sposób co drugi więzień ma gwarancję poprawnego odgadnięcia, a reszta - po 50%.

3Chwilę potem poprawne rozwiązanie nadesłał Cichy, który może sobie od dzisiaj przypiąć znaczek Naczelnego Rozwiązywacza Zagadek:

Więzień z końca ogonka liczy czarne kapelusze i jeśli ich liczba jest parzysta, mówi "czarny", a jeśli nie, to "czerwony". Jak ma szczęście, to taki też będzie jego kolor. Drugi dzięki jego odpowiedzi i liczbie czarnych kapeluszy przed sobą dedukuje, jaki ma kolor, kolejni liczą ile razy usłyszeli "czarny" i też łatwo to dedukują. Wszyscy są pewni przeżycia, z wyjątkiem pierwszego odpowiadającego, który ma 50% szansy na trafienie.

4Następnie do zabawy dołączył Waldek, który wymyślił, żeby zakodować liczbę czarnych kapeluszy metodą zerojedynkową, na pierwszych pięciu więźniach. Tu szansa na przeżycie wynosi 95% (100% jeżeli jesteśmy poza piątką "kodującą", po 50% na łeb jeżeli trafiliśmy do tej piątki). Całkiem pomysłowo!

Przechodzimy na system binarny. Więźniowie uzgadniają, że np. „czerwony” to 1, „czarny” to 0. Ostatnia piątka więźniów, czyli numery od 50 do 46 kodują binarnie liczbę tych cyfr (0 lub 1), których jest mniej na pozycjach od 1 do 45. Mniej, czyli od 0 do 22. Pozostanie 9 niewykorzystanych kodów od 23 do 31. Teraz więzień nr 45 i kolejni mają prostą rozrywkę umysłową, aby odgadnąć swoją cyfrę (czyli kolor) za wyjątkiem dramatycznej sytuacji, kiedy nr 45 widzi 22 jedynki i 22 zera. Dla takiej sytuacji konieczne jest wcześniejsze uzgodnienie, że kiedy mniej jest zer, to kod=22, a kiedy mniej jest jedynek to kod>22 (jeden z nieużywanych). Z tą dodatkową informacją reszta odgadywania jest również łatwa. Każdy więzień od nr 1 do 45 odgaduje swój kolor jednoznacznie. Numery 46 do 50 z prawdopodobieństwem 50%. Więc szansa na przeżycie wynosi 45/50+0,5*5/50=95%

https://xpil.eu/byq 📋