W zeszłą sobotę wrzuciłem tutaj zagadkę algebraiczną, w ramach której należało ustalić ile par liczb naturalnych (x, y) spełnia równość \( (x-1) x (x+1) = y^2+4\).
Poprawną odpowiedzią jest 0 (słownie: zero) i da się to w prosty sposób wykazać:
Najpierw zauważamy, że - będąc iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych - lewa strona równości dzieli się przez 3.
Następnie wykażemy, że prawa strona nigdy nie dzieli się przez 3:
- Jeżeli y dzieli się przez 3 bez reszty, to \(y^2\) też, po dodaniu 4 dostajemy liczbę niepodzielną przez trzy.
- Jeżeli y przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 (czyli y=1 lub 4, lub 7, lub 10 itd.) to oznaczmy z-1 = y (z jest podzielne przez 3) i wówczas po prawej mamy \((z-1)^2+4 = z^2-2z+5\) - widać, że skoro z dzieli się przez 3, to prawa strona przez 3 się nie dzieli.
- Jeżeli y przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (np. 5, 8, 11, 14 itd.), to oznaczamy z-2=y (gdzie z dzieli się przez 3 bez reszty) i wtedy prawa strona to \((z-2)^2+4=z^2-4z+8\) - znów widać, że prawa strona jest niepodzielna przez 3.
A innej możliwości nie ma: y w dzieleniu przez 3 może dać resztę wyłącznie 0, 1 lub 2. Skoro więc lewa strona zawsze dzieli się przez 3, a prawa nigdy, to odpowiedź do zagadki faktycznie brzmi: ZERO.
A jak Wam poszło? Całkiem nieźle:
1W niedzielę wczesnym popołudniem odezwał się Rozie, który zapuścił skrypt w Pythonie, przemielił ileś tam pierdylionów kombinacyj i skoro żadna nie dała spodziewanego wyniku, zaryzykował odpowiedź ZERO. Zaliczam 🙂
2Dosłownie 23 minuty później odezwał się Butter, który potraktował zagadnienie algebraicznie i wyszło mu, że równość da się uzyskać wyłącznie po opuszczeniu dziedziny liczb naturalnych. Odpowiedź ZERO zaliczam.
Nota bene układ ów ma nieskończenie wiele rozwiązań rzeczywistych, a nie tylko jedno (dowód), ale końcem końców liczy się poprawna odpowiedź.
3Nazajutrz około południa swoją odpowiedź przysłał Waldek, który jako pierwszy z rozwiązujących przedstawił rozwiązanie formalne, w zasadzie identyczne z moim tylko dużo porządniej sformułowane. Naturalnie - zaliczam.
4We wtorek, o jakiejś nieprzyzwoicie wczesnej porze, odezwał się Krzysiek:
5We środę po południu przedziwnej (i całkiem nieprawidłowej) odpowiedzi udzielił Rzast:
Przypuszczam, że Rzast wykonał kopiuj - wklej z mojego wpisu do Wolfram Alpha i mu się przy tej okazji rozjechały jakieś elementy. Musiał to jednak zrobić w wyjątkowo kreatywny sposób, bo spróbowałem i chociaż przy kopiowaniu "zgubił" się operator potęgowania - a więc równość przeniosła się do Wolframa jako (x−1)x(x+1)=y2+4 - to mimo to Wolfram inteligentnie założył, że "y2" oznacza \(y^2\) i podał poprawną odpowiedź:
Ciekaw jestem co się tutaj faktycznie wydarzyło.
Czeski błąd… po prawej zamiast + dałem -, czyli:
x³ – x = y² – 4