Okrągłe ciasteczko

https://xpil.eu/5mi 📋

Liczba pi jaka jest - każdy widzi. Może nie całą, ale przynajmniej początek.

Całą pi widział tylko Chuck Norris i nawet potrafi ją powiedzieć z pamięci, i to od końca.

Pi ma tę właściwość, że jest nieskończenie niepowtarzalna czyli - jak zwykli byli mówić jajogłowi - niewymierna. Różne kombinacje cyfr się tam pojawiają, czasem się jedna z drugą powtórzą, ale zasadniczo

aż do nieskończoności
brak jest regularności

No i fajnie. Nie ona jedna ma tę właściwość. Jak się człowiek dobrze natęży i wyciągnie - być może z pomocą obcęgów - pierwiastek z dwójki, też dostanie nieskończenie długi ciąg cyfr układających się całkiem nieregularnie i nieregulaminowo.

Dziś jednak zadamy sobie pytanie nizgrusznenizpietruszne dotyczące układu cyfr całkiem regularnego i przewidywalnego.

Weźmy sobie taki oto ciąg liczbowy:

2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, ...

A więc wszystkie naturalne liczby parzyste, każda po dwa razy.

Weźmy sobie teraz inny ciąg liczbowy:

1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, ...

Tym razem mamy wszystkie liczby nieparzyste dodatnie, również każda po dwa razy (z wyjątkiem jedynki, która jak zwykle jest samotna).

Ustawmy teraz te ciągi jeden pod drugim, o tak:

2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 12, ...
1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,  11, 11, ...

Następnie całkiem z głupia frant wstawmy pomiędzy nie poziome kreski:

2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 12, ...
-  -  -  -  -  -  -  -  --  --  --
1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,  11, 11, ...

Wywalmy przecinki:

2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 ...
- - - - - - - - -- -- --
1 3 3 5 5 7 7 9 9  11 11 ...

Na koniec wstawiamy znaki mnożenia i zamieniamy podwójny trzykropek - pojedynczym:

2   2   4   4   6   6   8   8   10   10   12
- x - x - x - x - x - x - x - x -- x -- x --  ...
1   3   3   5   5   7   7   9   9    11   11

Żeby nie było, zapiszmy nasze działanie "porządnie":

\(\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times\frac{10}{9}\times\frac{10}{11}\cdots\)

No i teraz pytanie za sto punktów: jak już wymnożymy te wszystkie ułamki aż do nieskończoności, jaki wyjdzie wynik?

Okazuje się, że odpowiedź na pierwszy (a nawet na siódmy) rzut oka wcale nie jest taka oczywista.

Na pewno widać, że wynik ma szansę być jakąś konkretną, skończoną liczbą. Kolejne czynniki są bowiem coraz bardziej zbliżone do jedynki - i to z obu jej stron, naprzemiennie. A więc mnożenia na pozycjach nieparzystych zwiększają wynik, a na parzystych - zmniejszają.

Jakieś pomysły?

https://xpil.eu/5mi 📋