Joy-givers

https://xpil.eu/GK7Xy 📋

Dziś będzie matematycznie. Ponieważ wiem, że część moich Czytelników cierpi na chroniczną niechęć do matematyki, od razu uprzedzam, że ten wpis jest nie tylko matematyczny, ale również kompletnie bezużyteczny w życiu codziennym. W odróżnieniu bowiem od całek, pochodnych lub macierzy, które mają jak najbardziej realne zastosowanie w życiu, liczby Harshad są tylko i wyłącznie ciekawostką.

Niemniej jednak, ponieważ wielcy matematycy nigdy się za bardzo nie martwili światem realnym, mam dziś temat na bloga 🙂

Samo słowo "Harshad" nie jest bynajmniej, jak to często bywa, nazwiskiem matematyka, który te liczby "znalazł" (jak ma to miejsce w przypadku liczb Mersenne'a, Fermata czy Sierpińskiego). Tym razem mamy składankę dwóch indyjskich słówek: harṣa (przyjemność) oraz da (dawać).

Stąd taki a nie inny tytuł wpisu.

Cechą liczb Harshad jest to, że dzielą się one bez reszty przez sumę własnych cyfr, w danym systemie liczbowym. Żeby nie przynudzać, skupię się dziś wyłącznie na liczbach Harshad w systemie dziesiętnym.

Przykłady liczb Harshad:
\(50: 5+0=5\), 50 dzieli się przez 5.
\(198: 1+9+8=18\), 198 dzieli się przez 18.

I tak dalej. Liczb Harshad jest mnóstwo, i są one dość gęsto ułożone na osi liczb naturalnych.

Ktoś mógłby pomyśleć w tym momencie, że każda liczba podzielna przez 9 jest liczbą Harshad (biorąc pod uwagę regułę podzielności przez 9, mówiącą, że liczba dzieli się przez 9 jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez 9). Jednak byłby w błędzie, na przykład 99 dzieli się przez 9, ale 9+9=18, a 99 nie dzieli się przez 18 (chociaż 18 dzieli się przez 9).

Ciekawostką jest to, że nie istnieje ciąg kolejnych liczb naturalnych będących liczbami Harshad, o długości większej niż 20. Inną ciekawostką jest też, że istnieje nieskończenie wiele takich ciągów o długości równej 20. Pierwszy ("najwcześniejszy") z nich składa się z liczb o ilości cyfr przekraczającej 44 miliardy.

Jeszcze inna ciekawostka jest taka, że niektóre silnie kolejnych liczb naturalnych nie są liczbami Harshad. 432! jest pierwszą z nich.

Żadna liczba pierwsza większa od 7 nie jest liczbą Harshad (to akurat jest oczywiste, jak się nad tym chwilę zastanowić).

Istnieją też wielokrotne liczby Harshad, a więc takie, które podzielone przez sumę własnych cyfr dają w wyniku inną liczbę Harshad. Przykłady:

6804 (liczba Harshad 3-krotna)

\(6+8+0+4=18, \frac{6804}{18}=378\\3+7+8=18, \frac{378}{18}=21\\2+1=3, \frac{21}{3}=7\)

2016502858579884466176 (liczba Harshad 12-krotna)

\(2+0+1+6+5+0+2+8+5+8+5+7+9+8+8+4+4+6+6+1+7+6\\=108,\frac{2016502858579884466176}{108}=18671322764628559872\) \(1+8+6+7+1+3+2+2+7+6+4+6+2+8+5+5+9+8+7+2\\=99,\frac{18671322764628559872}{99}=188599219844732928\) \(1+8+8+5+9+9+2+1+9+8+4+4+7+3+2+9+2+8\\=99,\frac{188599219844732928}{99}=1905042624694272\) \(1+9+0+5+0+4+2+6+2+4+6+9+4+2+7+2 63,\frac{1905042624694272}{63 }\\=30238771820544\) \(3+0+2+3+8+7+7+1+8+2+0+5+4+4=54,\frac{30238771820544}{54}=559977255936\) \(5+5+9+9+7+7+2+5+5+9+3+6=72,\frac{559977255936}{72}=7777461888\) \(7+7+7+7+4+6+1+8+8+8=63,\frac{7777461888}{63}=123451776\) \(1+2+3+4+5+1+7+7+6=36,\frac{123451776}{36}=3429216\) \(3+4+2+9+2+1+6=27,\frac{3429216}{27}=127008\) \(1+2+7+0+0+8=18,\frac{127008}{18}=7056\) \(7+0+5+6=18,\frac{7056}{18}=392\) \(3+9+2=14,\frac{392}{14}=28\)

I tak dalej.

Jak się zapewne inteligentny Czytelnik już domyślił, przydatność tych liczb jest bardzo dyskusyjna. Poza pisaniem o nich na nudnych blogach tudzież robieniem z ich pomocą doktoratów i profesur, raczej niewielki z nich pożytek.

Ale co mi tam. Jak już wspominałem wielokrotnie, mój blog, moje liczby i będę sobie pisał o czym będę chciał 😉

Materiał do dzisiejszego wpisu zaczerpnąłem z Wikipedii.

A jak tam dotarłem? W jaki sposób zdrowy (przynajmniej fizycznie...), trzydziestoparoletni mężczyzna, mający dobrą pracę i kochającą rodzinę, może trafić na stronę Wikipedii opowiadającą o liczbach Harshad?

Podziękować muszę tutaj jednemu z komentarzodawców do mojego poprzedniego wpisu. Zainteresowałem się tam bliżej liczbą 73, za jej pomocą z kolei natknąłem się na słynne 42 (kto czytał Douglasa Adamsa ten wie o czym mowa), a 42 jest liczbą Harshad, o czym łaskawie wspomina Wiki. No i tak to się zaczęło...

https://xpil.eu/GK7Xy 📋