Jeżeli umiesz dodawać i dzielić w zakresie 1-1000, ten wpis jest dla Ciebie!
Przyjrzyjmy się następującemu czterdziestoośmioelementowemu zbiorowi liczb:
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 95, 115, 119, 123, 133, 155, 187, 203, 209, 215, 221, 247, 265, 287, 299, 319, 323, 391, 689, 731, 901
Czy na pierwszy rzut oka widać w nim coś niezwykłego?
Spostrzegawczy Czytelnik być może zauważył, że każda z ww. liczb jest iloczynem dokładnie dwóch liczb pierwszych. Ale to nic nadzwyczajnego, takich liczb jest na pęczki.
No więc o sssso chozzzi?
Weźmy każdą z powyższych liczb z osobna i obliczmy jej odwrotność:
1/6, 1/10, 1/14, 1/15, 1/21, 1/22, 1/26, 1/33, 1/34, 1/35, 1/38, 1/39, 1/46, 1/51, 1/55, 1/57, 1/58, 1/62, 1/65, 1/69, 1/77, 1/82, 1/85, 1/86, 1/87, 1/91, 1/93, 1/95, 1/115, 1/119, 1/123, 1/133, 1/155, 1/187, 1/203, 1/209, 1/215, 1/221, 1/247, 1/265, 1/287, 1/299, 1/319, 1/323, 1/391, 1/689, 1/731, 1/901
Ciekawe?
E tam, ciekawe. Odwrotności to każdy już liczył we wczesnej podstawówce...
No dobra, jeszcze jeden drobny wysiłek umysłowy: pododawajmy te odwrotności do siebie:
1/6 + 1/10 + 1/14 + 1/15 + 1/21 + 1/22 + 1/26 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/38 + 1/39 + 1/46 + 1/51 + 1/55 + 1/57 + 1/58 + 1/62 + 1/65 + 1/69 + 1/77 + 1/82 + 1/85 + 1/86 + 1/87 + 1/91 + 1/93 + 1/95 + 1/115 + 1/119 + 1/123 + 1/133 + 1/155 + 1/187 + 1/203 + 1/209 + 1/215 + 1/221 + 1/247 + 1/265 + 1/287 + 1/299 + 1/319 + 1/323 + 1/391 + 1/689 + 1/731 + 1/901 = ?
Ktoś już policzył?
I co, ile wyszło? Bo mi wyszło jeden.
Czyli jeszcze raz: mamy kupę liczb, z których każda jest iloczynem dokładnie dwóch liczb pierwszych, bierzemy ich odwrotności, sumujemy - i jakimś cudem dostajemy w wyniku jedynkę. I to nie w przybliżeniu, ale dokładnie, co do joty.
Czary?
Nie.
Kilka nazwisk przetacza się przez tego bloga dość często: Piotr Fermat, Stanisław Ulam, Paul Erdős... Tym razem znów padło na Erdősa, który za młodu zajmował się takimi właśnie ułamkami egipskimi.
Ułamek egipski to nic innego jak suma odwrotności różnych liczb całkowitych. Coś, czego starożytni Egipcjanie używali do reprezentowania dowolnych ułamków. Metoda wielce żmudna i mało wydajna. Martwa odnoga matematyki, która jednak - zanim obumarła w praktycznych zastosowaniach - była stosowana przez cztery tysiąclecia w różnych zakątkach świata.
Na przykład jeżeli ktoś chce przedstawić ułamek 43/48, wystarczy, że doda do siebie 1/2, 1/3 i 1/16. Proste, prawda?
A gówno tam, proste...
No więc właśnie. Metoda była, potem się zmyła na rzecz "zwykłych" ułamków oraz kropki dziesiętnej, która nawiasem mówiąc wyewoluowała z poziomej kreski umieszczanej zwyczajowo nad ostatnią cyfrą części całkowitej. Metoda prostsza wyparła trudniejszą (mózg ludzki dąży do uproszczeń) i ułamki egipskie pozostały już tylko na kartach historii oraz w głowach wariatów typu Paul Erdős, którzy nie mogli spać po nocach zanim nie wykombinowali jak je do siebie pododawać, żeby coś tam wyszło.
Erdős postawił hipotezę, że każda liczba całkowita dodatnia da się przedstawić w postaci skończonej sumy odwrotności różnych liczb całkowitych dodatnich mających dokładnie po dwa czynniki pierwsze. Przykład otwierający ten wpis pokazuje, że da się w ten sposób uzyskać jedynkę. Erdős twierdził, że da się tak przedstawić KAŻDĄ liczbę naturalną.
Niestety, zanim udało mu się doprowadzić dowód owej hipotezy do końca, wziął i umarł.
Na szczęście tematem zainteresował się przyjaciel Erdősa, inny wielkiego formatu matematyk, Ronald Graham, postać dość nietuzinkowa. Facet był przez prawie 40 lat dyrektorem IT jednej z firm-córek amerykańskiego giganta telekomunikacyjnego AT&T, a równocześnie prowadził prace naukowe w zakresie matematyki dyskretnej. Pracował między innymi właśnie nad tą nieszczęsną "egipską" hipotezą.
Całkiem niedawno, po "zaledwie" około pięćdziesięciu latach od postawienia przez Erdősa owej hipotezy udało się wreszcie dojść do pierwszych sensownych wyników. Grahamowi (wraz ze Stevem Butlerem) udało się bowiem dowieść, że każdą z liczb całkowitych da się przedstawić w postaci sumy odwrotności różnych liczb mających dokładnie 3 czynniki pierwsze. Nawiasem mówiąc dowód ów jest tak skonstruowany, że niejako przy okazji rozciąga się na dowolne większe ilości czynników pierwszych.
Tym samym udało się zbliżyć do udowodnienia hipotezy Erdősa o ułamkach egipskich - niestety, Grahamowi stuknęła już osiemdziesiątka, więc ktoś niedługo będzie musiał przejąć po nim tę schedę...
Z nieco innej beczki: nie udało się jeszcze do dziś nikomu udowodnić (w tę, ani we w tę), że liczba jeden da się przedstawić jako suma odwrotności skończonej liczby różnych liczb pierwszych. Ale o tym może już kiedy indziej...
Ostatnie zdanie mnie zaskoczyło. Odpowiedź “nie da się” jest przecież bardzo intuicyjna.
Mi się też wydaje (tak na czuja), że się nie da, ale co ja tam wiem o matematyce… Za wysokie progi.