Niesko艅czono艣膰 od zawsze gra艂a z intuicj膮 w kotka i myszk臋. Matematycy do艣膰 dobrze opanowali r贸偶ne rodzaje niesko艅czono艣ci, ale "zwykli" zjadacze chleba czasem wci膮偶 daj膮 si臋 zap臋dzi膰 w chaszcze.
Dzi艣 pro艣ciutki przyk艂ad: gdzie jest wi臋cej punkt贸w, wewn膮trz kwadratu, czy wzd艂u偶 jego bok贸w? Dla uproszczenia przyjmujemy kwadrat o wymiarach 1x1.
Intuicja podpowiada nam natychmiast, 偶e wewn膮trz kwadratu jest wi臋cej punkt贸w, bo wn臋trze kwadratu jest dwuwymiarowe, a boki - jednowymiarowe, a wi臋c dla ka偶dego (pojedynczego) punktu na boku kwadratu mo偶emy poprowadzi膰 odcinek prostopad艂y do tego boku, kt贸ry zawiera niesko艅czenie wiele punkt贸w. Zgadza si臋?
Niby tak. Z drugiej jednak strony, zaraz poka偶臋, 偶e liczba punkt贸w wewn膮trz kwadratu jest dok艂adnie taka sama, jak liczba punkt贸w na jego obwodzie - a mo偶e nawet mniejsza!
Przyjmijmy, 偶e kwadrat ma jeden z naro偶nik贸w w punkcie (0,0), a drugi w punkcie (1,1).
We藕my teraz dowolny punkt P wewn膮trz kwadratu.
We藕my jego wsp贸艂rz臋dne (x, y).
Ustawmy te wsp贸艂rz臋dne jedna za drug膮: najpierw x, a zaraz za ni膮 y, ale bez pocz膮tkowego zera i przecinka. W efekcie otrzymamy liczb臋 L z艂o偶on膮 ze wszystkich cyfr liczby x, po kt贸rych nast臋puj膮 wszystkie cyfry liczby Y. Przyk艂ad: P = (0.222, 0.333), w贸wczas L = 0.222333. Odmierzamy na dowolnym boku kwadratu punkt odleg艂y od jednego z ko艅c贸w o 0.222333.
呕aden inny punkt P wewn膮trz kwadratu nie da warto艣ci 0.222333. A wi臋c dla ka偶dego punktu wewn膮trz kwadratu mo偶emy znale藕膰 dok艂adnie jeden UNIKALNY punkt na jednym z jego bok贸w. Inaczej m贸wi膮c ilo艣膰 punkt贸w tu i tam jest taka sama.
A 偶e boki s膮 a偶 cztery...
Wychodzi na to, 偶e dla ka偶dego punktu wewn膮trz kwadratu mo偶emy znale藕膰 cztery r贸偶ne unikalne punkty na jego obwodzie. A wi臋c obw贸d ma wi臋cej punkt贸w, ni偶 wn臋trze.
Zgadza si臋?
Obawiam si臋, 偶e si臋 zgadza, cho膰by艣my nie wiem jak bardzo pr贸bowali si臋 przekona膰, 偶e jest inaczej 馃檪
jest podobna zagadka o strzale…
Leci sobie strza艂a. Przebywa po艂ow臋 drogi, potem po艂ow臋 tego co jej zosta艂o, potem po艂ow臋 tego co jej zosta艂o itd. dzielimy i dzielimy i wychodzi, 偶e strza艂a nigdy nie doleci. Jest tu b艂膮d logiczny, ale rozwi膮zanie tego jako艣 niespecjalnie przychodzi mi do g艂owy.
“Zagadka o strzale”. Ech… https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoksy_Zenona_z_Elei
A co do kwadratu, to robimy tak. Wykrawamy z wn臋trza kwadratu obw贸d mniejszego kwadratu, Dosy膰 jasne jest, 偶e te dwa obwody maj膮 tle samo punkt贸w, prawda? A ile jeszcze punkt贸w tego wn臋trza zosta艂o…
zagadka z kwadratem to b艂膮d logiczny. Polega na tym, 偶e z definicji punkt nie ma wymiar贸w zatem nie mo偶na powiedzie膰 ile punkt贸w zawiera prosta a ile kwadrat.
Zagadka ze strza艂膮 to r贸wnie偶 b艂膮d logiczny, tak jak to opisano w linku z wikipedii. Ruch z definicji opisywany jest przez czas i przesuni臋cie i nie mo偶na go rozpatrywa膰 bior膮c pod uwag臋 tylko jedn膮 z tych zmiennych bo po prostu zaczynamy “spowalnia膰 czas” co oczywi艣cie nie ma miejsca. Czas p艂ynie i w tym czasie pokonywany jest jaki艣 odcinek.
Oba te paradoksy s膮 o tyle interesuj膮ce, 偶e pokazuj膮, i偶 matematyka, fizyka to nauki, kt贸re u podstaw maj膮 logik臋. Brak logiki za艣 prowadzi do paradoksalnych wniosk贸w.
Zgadza si臋. Czas leci swoim tempem i dzielenie go na p贸艂 niewiele zmieni, nie ma tu 偶adnego paradoksu. Natomiast przy kwadracie nie ma b艂臋du logicznego – jest tylko kwestia g臋sto艣ci zbior贸w. G臋sto艣膰 zbioru R^2 jest identyczna jak zbioru R, st膮d ka偶demu punktowi we wn臋trzu kwadratu da si臋 przypisa膰 jednoznacznie jeden punkt na obwodzie i vice versa. O g臋sto艣ci zbior贸w niesko艅czonych ju偶 zreszt膮 kiedy艣 wspomina艂em, o tutaj: http://xpil.eu/zxSw7
Obw贸d nie ma wi臋cej punkt贸w ni偶 wn臋trze, bo i tu, i tu jest ich niesko艅czenie wiele zatem trudne powiedzie膰, 偶e niesko艅czono艣膰 w kt贸rym艣 przypadku jest wi臋ksza lub mniejsza. Liczba punkt贸w jest za艣 niesko艅czona poniewa偶 punkty z definicji nie maj膮 rozmiaru.
B艂膮d w tej ca艂ej zagadce jest nast臋puj膮cy:
1. Boki kwadratu s膮 lokalnym uk艂adem wsp贸艂rz臋dnych
2. Uk艂ad wsp贸艂rz臋dnych p艂askich ma tylko 2 osie a nie 4 osie.
3. Je偶eli wprowadzamy nowy uk艂ad wsp贸艂rz臋dnych to liczenie w nowym uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych jest niezale偶ne od liczenia punkt贸w w innym uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych. Oznacza to, 偶e wynik贸w (ilo艣ci) nie mo偶na sumowa膰.
Poza tym te dwa uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych maj膮 inne pocz膮tki zatem wsp贸艂rz臋dne odpowiednich punkt贸w s膮 ca艂kowicie inne i nie odpowiadaj膮 sobie, w przyk艂adzie za艣 s膮 to te same wsp贸艂rz臋dne.
Fajnie, 偶e kombinujesz, ale troch臋 na 艣lepo. W tym “paradoksie” z kwadratem (paradoksie, kt贸rego tak naprawd臋 nie ma) chodzi wy艂膮cznie o g臋sto艣膰 zbior贸w, kt贸ra, jak ju偶 wspomnia艂em, jest identyczna dla R i R^2 (oraz w og贸lno艣ci dla R^N, dla dowolnie du偶ego, sko艅czonego N>1). Mo偶esz identyczne rozumowanie przeprowadzi膰 dla sze艣cianu (a wi臋c wykaza膰, 偶e ilo艣膰 punkt贸w wewn膮trz sze艣cianu jest identyczn膮 z ilo艣ci膮 punkt贸w tworz膮cych jego kraw臋d藕).
Niesko艅czono艣ci s膮 r贸偶nych rodzaj贸w i liczno艣ci. Po wi臋cej szczeg贸艂贸w zapraszam na Wikipedi臋: https://pl.wikipedia.org/wiki/Skala_alef%C3%B3w
Chwila moment. A na jakiej podstawie odbywa si臋 takie klajstrowanie wsp贸艂rz臋dnych? R贸wnie dobrze mo偶na doda膰 do x p贸艂 litra i wyjdzie ze kwadrat to dno spo艂eczne
Na podstawie 艣ci艣le podanej definicji: klajstrujemy cyferki wsp贸艂rz臋dnej Y zaraz za cyferkami wsp贸艂rz臋dnej X. Tu w艂a艣nie k艂ania si臋 g臋sto艣膰 zbioru: niewa偶ne jak g臋sto s膮 upakowane punkty w kwadracie, tak samo g臋sto s膮 punkty na jego obwodzie.
El toro zdaje si臋 m贸wi o rzutowaniu ka偶dego punktu z wn臋trza kwadratu na kt贸r膮艣 z osi. Nie jest to rzutowanie jednoznaczne (czyli jeden do jednego tj. jeden punkt na osi odpowiada tylko jednemu punktowi z wn臋trza kwadratu) bo nie da si臋 odwzorowa膰 p艂aszczyzny na dw贸ch prostych. To, 偶e punkty maj膮 swoje niepowtarzalne rz臋dne to 偶aden argument, to po prostu wsp贸艂rz臋dne tych punkt贸w kwadratu nie za艣 wsp贸艂rz臋dne le偶膮ce na osi.
Jaro, pr贸bujesz stosowa膰 logik臋 u偶ywan膮 jeszcze do niedawna g艂贸wnie do 艂apania ma艂ych zwierz膮tek i uciekania przed du偶ymi, do niesko艅czenie ma艂ych abstrakcji zwanych punktami. W naszym 艣wiecie rzeczy niesko艅czenie ma艂e nie istniej膮 (by膰 mo偶e poza czarnymi dziurami, ale spr贸buj je upakowa膰 niesko艅czenie g臋sto…), dlatego nasza intuicja s艂abo sobie z nimi radzi.
Zauwa偶, 偶e mi臋dzy ka偶dymi dowolnie blisko siebie po艂o偶onymi dwoma punktami na obwodzie kwadratu znajduje si臋 dok艂adnie tyle samo punkt贸w, co na ca艂ym jego obwodzie. Zwi臋kszanie ilo艣ci wymiar贸w niczego tu nie zmienia – g臋sto艣膰 punkt贸w nie wzro艣nie przy przej艣ciu z R do R^2. St膮d te偶 da si臋 prosto “policzy膰”, 偶e tu i tam punkt贸w jest dok艂adnie tyle samo (innymi s艂owy: zbiory R i R^2 s膮 r贸wnoliczne).
Nie wiem co Ci si臋 nie podoba w “sklejaniu” wsp贸艂rz臋dnych. Jest to prosta operacja daj膮ca jednoznaczne wyniki (paradoksalnie nawet dla punkt贸w o niewymiernych wsp贸艂rz臋dnych, a wi臋c takich, gdzie trzeba “sklei膰” dwa niesko艅czenie d艂ugie ci膮gi cyfr). Ka偶demu punktowi na obwodzie kwadratu b臋dzie odpowiada艂 dok艂adnie jeden punkt w jego wn臋trzu i vice versa.
Zreszt膮 偶eby uzyska膰 bijekcj臋 (w艂a艣nie nauczy艂em si臋 nowego s艂贸wka!) odwzorowuj膮c膮 odcinek w kwadrat (i vice versa), nie trzeba koniecznie “skleja膰” cyfr. Mo偶na zamiast tego u偶y膰 innych metod. Par臋 sekund guglania znalaz艂o mi ten oto adres: http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt2/skrypt/node12.html (przewi艅 w d贸艂 do przyk艂adu 5).
Oczywi艣cie je偶eli we藕miemy dwie grupy ludzi i jednych b臋dziemy karmi膰 pizz膮 w kszta艂cie okr臋gu, a drugich tylko jej obwodem, to ci drudzy padn膮 z g艂odu 馃槈
w negocjacjach czasami dochodzi si臋 do takiego punktu, ze jedna strona si臋 zabetonuje i druga r贸wnie偶. I wtedy nale偶y da膰 sobie spok贸j na jaki艣 czas i wr贸ci膰 do dyskusji. S膮 te偶 inne rozwi膮zania, ale zak艂adaj膮c, 偶e zespo艂y negocjacyjne si臋 nie zmieniaj膮 to nale偶y przerwa膰 dyskusj臋 i wr贸ci膰 do niej kiedy艣 indziej. Albo i nie. Mo偶na r贸wnie偶 poszuka膰 innej zagadki matematycznej a o tej zapomnie膰. I ja jestem za tym drugim rozwi膮zaniem.
Zgadzam si臋 i r贸wnie偶 jestem za tym, 偶eby zabetonowanych negocjacji na si艂臋 nie rozbetonowywywa膰 :] Co prawda w matematyce o negocjacje ci臋偶ko, to jedyna z nauk, gdzie nie ma opinii, s膮 tylko fakty – ale ok, odpuszczam. Do nast臋pnej zagadki 馃檪