Tasowanie i pary

https://xpil.eu/x4b 📋

Na jednym z moich ulubionych blogów znalazłem niedawno rozważania na temat tasowania talii kart.

A konkretnie: jakie jest prawdopodobieństwo, że po potasowaniu talii 52 kart dwie z nich, które były sąsiadami przed rozpoczęciem tasowania, będą znajdować się obok siebie również po jego zakończeniu?

"Obok siebie" to nie znaczy w tej samej kolejności: jeżeli przed tasowaniem as pik znajdował się tuż przed siódemką trefl, po skończeniu tasowania "liczy się" zarówno ten układ jak też odwrotny, tj. siódemka trefl tuż przed asem pik.

Odpowiedź na to pytanie przeczy intuicji. Wydawać by się bowiem mogło, że skoro ilość możliwych potasowań jest astronomicznie duża, a konkretnie 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 bilionów, to szanse, że dwie z nich "pozostaną" obok siebie wydają się być znikome.

Tymczasem jednak okazuje się, że - podobnie jak w przypadku paradoksu urodzin - prawdopodobieństwo jest całkiem spore, czyli około 86%. A więc średnio w osiemdziesięciu sześciu potasowaniach na sto znajdziemy po sąsiedzku przynajmniej jedną parę kart sprzed tasowania.

Dokładne wyliczenie dlaczego tak się dzieje wychodzi poza ramy tego wpisu (czytaj: bloger, od którego zerżnąłem ten materiał, nie podał szczegółów), ale warto przytoczyć ogólną formułę, która mówi, że dla odpowiednio dużej ilości kart w talii prawdopodobieństwo tego, że żadne dwie sąsiedzkie karty sprzed potasowania nie będą sąsiadować po potasowaniu wynosi \(\frac{1}{e^2}\), a więc prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (czyli że przynajmniej jedna para "przeżyje" tasowanie) wynosi \(1 - \frac{1}{e^2}\).

Po cholerę nam ta wiedza?

No cóż. Do partyjki remi-brydża czy tysiąca w familijnej atmosferze raczej się nie przyda. Ale może się przydać na przykład do testowania algorytmu tasującego: znając oczekiwany rozkład "przeżywalności" par kart możemy wykonać, dajmy na to, milion tasowań testowych i sprawdzić w ilu przypadkach przynajmniej jedna para "przeżyła" tasowanie - jeżeli wynik będzie się mocno różnił od 86%, musimy szukać błędu w algorytmie...

Link do oryginalnego wpisu: https://www.johndcook.com/blog/2017/01/22/sticky-cards/

A tu link do jednego z moich poprzednich wpisów dotyczących tasowania kart: http://xpil.eu/hqs

https://xpil.eu/x4b 📋