Niedawno postawiona zagadka o minimalizacji błędu względnego spotkała się z umiarkowanym zainteresowaniem Czytelników blogu.
Nic nie szkodzi. Gdyby wszyscy interesowali się tym samym, świat byłby strasznie nudny.
Dziś rozwiązanie oraz analiza zagadnienia w przypadku ogólnym. Jak już wcześniej nadmieniłem, zadanko jest trywialne.
Największy możliwy błąd wystąpi w przypadkach skrajnych: jeżeli wylosowana zostanie jedna z liczb krańcowych przedziału, czyli 30 albo 42.
A jeżeli tak, to należy znaleźć takie x między 30 a 42, dla którego wartość błędu względnego będzie identyczna w tych dwóch skrajnych przypadkach. Jeżeli bowiem wybierzemy x inne, wówczas jeden z przypadków skrajnych da w wyniku większy błąd, a tego chcemy uniknąć.
Jeżeli wylosowano 42, wówczas błąd względny wyniesie:
\(\frac{42-x}{42}\)
Z kolei jeżeli wylosowano 30, wówczas błąd ów wyniesie:
\(\frac{x-30}{30}\)
Równanie nasze wygląda więc następująco:
\(\frac{42-x}{42} = \frac{x-30}{30}\)
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy:
\(x=35\)
I to jest poprawna odpowiedź. Błąd względny w tym przypadku wyniesie 0.1(6) i to jest "gwarantowane najmniejsze maksimum".
A w przypadku ogólnym?
Jeżeli krańce przedziału, z którego losowane są liczby, oznaczymy odpowiednio a i b, wówczas powyższe równanie wygląda tak:
\(\frac{b-x}{b} = \frac{x-a}{a}\)
Rozwiązujemy dla x:
\(x=\frac{2ab}{a+b}\)
Jak widać minimalizacja maksymalnego błędu względnego w ogólnym przypadku daje w wyniku... średnią harmoniczną krańców przedziału.
O średnich już kiedyś pisałem:
Nudne, prawda?
Bardzo fajna zagadka. Myślałem o niej na nudnej prelekcji, ale pogubiłem się, pomieszał mi się błąd średni (który próbowałem zminimalizować różniczką) z błędem maksymalnym. Rozwiązanie bardzo eleganckie. Jeszcze trochę sobie policzę i być może się tutaj odezwę.
Dobra, przeżułem na spacerze i mam problem z obiema Twoimi przesłankami.
1. „Największy możliwy błąd wystąpi w przypadkach skrajnych: jeżeli wylosowana zostanie jedna z liczb krańcowych przedziału, czyli 30 albo 42.”
Nie jestem przekonany tak od razu. Mianownik komplikuje sytuację. Błąd bezwzględny wynosi |x – y| / y, gdzie x to liczba wybrana, a y to liczba wylosowana. Skąd widać, że największy błąd jest przy wartościach skrajnych? Bo różniczka mi tutaj coś nie działa…
2. „A jeżeli tak, to należy znaleźć takie x między 30 a 42, dla którego wartość błędu względnego będzie identyczna w tych dwóch skrajnych przypadkach. Jeżeli bowiem wybierzemy x inne, wówczas jeden z przypadków skrajnych da w wyniku większy błąd, a tego chcemy uniknąć.”
Hm, też tego nie widzę. Przecież możliwa jest hipotetyczna sytuacja, w której chociaż przypadki skrajne są nierówne, to największy z nich jest mniejszy od wartości, gdy oba są równe.
Może ten wykres nieco Ci rozjaśni: https://xpil.eu/wp-content/uploads/2018/03/bledy-01.png
You made my day… Teraz mogę rozkoszować się niedzielą 🙂
Omyłkowo utrudniłem sobie zadanie błędnie odczytując, że chodzi o minimalizację oczekiwanego (średniego) błędu względnego.
Dlatego rozwiązanie odłożyłem na później. Udało się, musiałem przypomnieć sobie te wszystkie całki i pochodne, ale udało się 🙂 Dysponuję rozwiązaniem jeśli trzeba, wyszło ~35.4965
Dzięki dla autora za wyzwanie.