Trójki pitagorejskie

https://xpil.eu/bau 📋

Mniej więcej miesiąc temu udało się wygrać stówkę, którą 36 lat temu zaoferował Ronald Graham za rozwiązanie pewnej zagadki matematycznej.

Szczęśliwiec, który ową stówkę (w twardej, amerykańskiej walucie) zainkasował wabi się Marienus Johannes Hendrikus Heule i jest - jak się można słusznie spodziewać - Holendrem. Jest też równo pięć lat (z dokładnością do jednego tygodnia!) młodszy ode mnie.

Zagadka natomiast brzmi tak:

Mamy do dyspozycji dwa różne kolory. Kolorujemy nimi wszystkie liczby naturalne (każda liczba jednym kolorem, żadnych pasków, gwiazdek itd.), od jedynki aż do nieskończoności. Czy da się je pokolorować w taki sposób, żeby każda trójka pitagorejska zawierała co najmniej jedną liczbę w każdym z kolorów?

(innymi słowy: żeby żadna trójka pitagorejska nie była monochromatyczna)

Niezrzeszonym przypominam, że trójka pitagorejska to takie trzy liczby naturalne A, B, C, które są długościami boków trójkąta prostokątnego. Najbardziej znana to oczywiście 3, 4, 5, ale jest ich "ciut" więcej. Nieskończenie wiele, dokładniej rzecz ujmując.

No właśnie. Da się, czy się nie da?

Zagadnienia matematyczne z nieskończonością w tle są zawsze odrobinę... frapujące, chociaż ostatnimi czasy matematycy oswoili sobie te wszystkie rodzaje nieskończoności, alefy i inne bydlęta całkiem sprawnie. W naszym przypadku okaże się (już za chwilę), że wcale nie potrzebujemy nieskończoności, żeby hipotezę postawioną przez Grahama obalić.

Jak obalić hipotezę?

Metoda #1: kupić flaszkę wódki, ochrzcić ją imieniem "Hipoteza", a następnie ją obalić, najlepiej w doborowym towarzystwie. Metoda skuteczna, ale ma kilka wad, które eliminują ją dzisiaj z naszego kręgu zainteresowań.

Metoda #2: naukowa. Należy wskazać scenariusz pozostający w sprzeczności z naszą hipotezą. W tym przypadku: zestaw takich trójek pitagorejskich, których nie da się pokolorować w zadany sposób.

Nie wiem, czy pan Heule próbował brać się za bary z ww. hipotezą używając metody numer 1 - jeżeli tak, to nigdzie tego nie publikował, za co mu chwała. Wiemy jednak, że kombinował z metodą numer 2.

Zamiast jednak zabrać się za zagadnienie w sposób analityczny, zaczął od metody prób i błędów. Po prostu próbował kolejnych pokolorowań dla coraz większych zakresów, sprawdzając równocześnie zestawy trójek pitagorejskich w tych zakresach - i wreszcie znalazł przykład takiego zestawu trójek, którego nie da się pokolorować dwoma kolorami tak, żeby spełnić warunki hipotezy Grahama.

Oczywiście nie robił tego na piechotę. Ilość kombinacji do sprawdzenia idzie w tryliony. Bez komputera ani rusz.

Superkomputer z ośmiuset szybkimi procesorami liczył różne warianty kolorowania i różne trójki pitagorejskie przez cztery doby. Wyniki, czyli - formalnie rzecz biorąc - zapis dowodu, zajęły około 200 terabajtów (prawie 220 bilionów bajtów).

Dowód został następnie przepuszczony przez oprogramowanie do weryfikacji dowodów matematycznych, które formalnie potwierdziło, że wszystko się zgadza. Matematycy już od dawna - aczkolwiek niechętnie - pogodzili się z faktem, że niektórych dowodów matematycznych nie da się potwierdzić bez pomocy komputera nie dlatego, że są trudne, ale dlatego, że są zbyt obszerne (w stricte pojemnościowym znaczeniu) i żaden człowiek nie byłby w stanie - sam, czy z pomocą kolegów - choćby przeczytać całego dowodu w ciągu swojego życia, a co dopiero mówić o jego zrozumieniu czy potwierdzeniu.

Tak więc od mniej więcej miesiąca hipoteza Grahama jest już historią, a Heule, bogatszy o sto dolarów oraz niewątpliwą sławę w matematycznym światku, odjeżdża swobodnym kłusem w stronę horyzontu, na tle zachodzącego słońca, przy okazji trafiając do Księgi Rekordów Guinessa za najdłuższy na świecie dowód matematyczny.

Kurtyna.

https://xpil.eu/bau 📋