Hipoteza ABC

https://xpil.eu/EPVt8 📋

Wczoraj świat nauki obiegła radosna wieść, że Shinichi Mochizuki, japoński jajogłowy, udowodnił hipotezę ABC.

Z czystej ciekawości zajrzałem w różne źródła, żeby dowiedzieć się cóż to za zwierz, ta hipoteza. Okazuje się, że całkiem pokaźny, z rogami, kleszczami, parzydełkami i innymi rozrywkowymi narządami skutecznie odstraszającymi dotychczasowych śmiałków. A tu proszę bardzo, przybywa japoński rycerz w lśniącej równaniami eliptycznymi zbroi i roztrzaskuje smoka za pomocą zaledwie pięćsetstronicowego dowodu. Przy okazji, na chwilę obecną jest on ponoć jedynym człowiekiem na świecie, który ten dowód rozumie - coś jak z ogólną teorią względności, którą w czasach Einsteina rozumiało może ze trzech ludzi. A może mniej.

Zanim przejdę do szczegółów, dodam jeszcze, że hipoteza ABC (zwana być może już niedługo "twierdzeniem ABC") ma doniosłe znaczenie w teorii liczb, ponieważ opiera się na niej dobrze ponad dziesięć innych hipotez matematycznych (które dzięki przekształceniu hipotezy ABC w twierdzenie, same staną się twierdzeniami, lub przynajmniej prościej będzie je udowodnić).

Teraz samo gęste, czyli o sssso chchchozzzi.

Otóż zacznijmy od początku. Zdefiniujemy sobie najpierw problem ABC, w następujący sposób:

Problemem ABC nazywamy każdą trójkę liczb całkowitych dodatnich A, B i C, które nie mają wspólnych podzielników (z wyjątkiem, oczywiście, jedynki), a także które spełniają równanie: A + B = C

Przykłady:

2 + 3 = 5
7 + 9 = 16
24 + 25 = 49

(24 ma dwa podzielniki pierwsze: 2 i 3; 25 dzieli się tylko przez 5, a 49 - tylko przez 7)

Proste?

No to kontynuujemy.

Wprowadzimy teraz pojęcie pomocnicze: część bezkwadratowa.

Część bezkwadratowa liczby całkowitej X (oznaczmy ją P(X)) to iloczyn jej czynników pierwszych. Dla przykładu, P(20) = 10 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 20 to 2 i 5, a 2 * 5 = 10. Inny przykład: P(441) = 21 ponieważ jedyne czynniki pierwsze liczby 441 to 3 i 7, a 3 * 7 = 21.

Znamy więc teraz (przynajmniej ci z nas, którzy jeszcze nie ucięli komara) dwa dodatkowe pojęcia: problem ABC oraz część bezkwadratowa P(X). Czas na hipotezę właściwą.

Hipoteza ABC mówi nam, że ilość trójek (A, B, C) spełniających problem ABC (a więc, będących względnie pierwszymi oraz spełniającymi równanie A + B = C), oraz spełniających warunek \( \displaystyle C > P(A \times B \times C)^X\) jest skończona dla dowolnego X > 1.

Przekładając to na bardziej humanitarny język, hipoteza ABC mówi, że na ogół P(A * B * C) jest dużo większe od C, a przypadków, kiedy C jest większe, jest ograniczona liczba, dla dowolnej zadanej wielokrotności P.

Może poniższe przykłady nieco zobrazują ten bełkot:

Przykład 1.

Weźmy liczby A = 4, B = 127 oraz C = 131. Są one względnie pierwsze (a więc, nie mają wspólnych podzielników, z wyjątkiem jedynki) oraz spełniają równość A + B = C.

Część bezkwadratowa iloczynu tych liczb to P(4 * 127 * 131) = P(66548) = 2 * 127 * 131 = 33274. Jak widać, P jest dużo większe od C, i jest to regułą.

Przykład 2.

A = 3, B = 125, C = 128
P(3 * 125 * 128) = 3 * 5 * 2 = 30

30 jest mniejsze niż 128 - i to jest ten rzadki przypadek, kiedy P(A * B * C) < C. I teraz uwaga: 128 to 30 podniesione do potęgi o wykładniku mniej więcej 1.426. Hipoteza ABC mówi nam, że takich trójek (A, B, C), gdzie C jest większe niż P(A, B, C) podniesione do potęgi 1.426 (wartość tej potęgi można sobie ustalić na dowolnym poziomie) jest skończona ilość.

Nudne, prawda?

Jednakowoż, hipoteza ABC pomaga na przykład w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia Fermata - co prawda wyłącznie dla odpowiednio dużych wykładników, ale jednak.

Twierdzenie to mówi, że nie da się znaleźć naturalnych rozwiązań równania \(A^N+B^N=C^N\), dla N > 2 i jest chyba najsłynniejszym twierdzeniem wszechczasów.

Podobno w celu udowodnienia hipotezy ABC Shinichi opracował zupełnie nowe metody matematyczne. A więc, geniusz na miarę stulecia.

Żyjemy w ciekawych czasach... Niedawno bozon Higgsa, teraz hipoteza ABC.

Co dalej?

P.S. Dopisane trzy lata później: http://xpil.eu/U4u2S

https://xpil.eu/EPVt8 📋