Nieskończoność od zawsze grała z intuicją w kotka i myszkę. Matematycy dość dobrze opanowali różne rodzaje nieskończoności, ale "zwykli" zjadacze chleba czasem wciąż dają się zapędzić w chaszcze.
Dziś prościutki przykład: gdzie jest więcej punktów, wewnątrz kwadratu, czy wzdłuż jego boków? Dla uproszczenia przyjmujemy kwadrat o wymiarach 1x1.
Intuicja podpowiada nam natychmiast, że wewnątrz kwadratu jest więcej punktów, bo wnętrze kwadratu jest dwuwymiarowe, a boki - jednowymiarowe, a więc dla każdego (pojedynczego) punktu na boku kwadratu możemy poprowadzić odcinek prostopadły do tego boku, który zawiera nieskończenie wiele punktów. Zgadza się?
Niby tak. Z drugiej jednak strony, zaraz pokażę, że liczba punktów wewnątrz kwadratu jest dokładnie taka sama, jak liczba punktów na jego obwodzie - a może nawet mniejsza!
Przyjmijmy, że kwadrat ma jeden z narożników w punkcie (0,0), a drugi w punkcie (1,1).
Weźmy teraz dowolny punkt P wewnątrz kwadratu.
Weźmy jego współrzędne (x, y).
Ustawmy te współrzędne jedna za drugą: najpierw x, a zaraz za nią y, ale bez początkowego zera i przecinka. W efekcie otrzymamy liczbę L złożoną ze wszystkich cyfr liczby x, po których następują wszystkie cyfry liczby Y. Przykład: P = (0.222, 0.333), wówczas L = 0.222333. Odmierzamy na dowolnym boku kwadratu punkt odległy od jednego z końców o 0.222333.
Żaden inny punkt P wewnątrz kwadratu nie da wartości 0.222333. A więc dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć dokładnie jeden UNIKALNY punkt na jednym z jego boków. Inaczej mówiąc ilość punktów tu i tam jest taka sama.
A że boki są aż cztery...
Wychodzi na to, że dla każdego punktu wewnątrz kwadratu możemy znaleźć cztery różne unikalne punkty na jego obwodzie. A więc obwód ma więcej punktów, niż wnętrze.
Zgadza się?
Obawiam się, że się zgadza, choćbyśmy nie wiem jak bardzo próbowali się przekonać, że jest inaczej 🙂
jest podobna zagadka o strzale…
Leci sobie strzała. Przebywa połowę drogi, potem połowę tego co jej zostało, potem połowę tego co jej zostało itd. dzielimy i dzielimy i wychodzi, że strzała nigdy nie doleci. Jest tu błąd logiczny, ale rozwiązanie tego jakoś niespecjalnie przychodzi mi do głowy.
“Zagadka o strzale”. Ech… https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoksy_Zenona_z_Elei
A co do kwadratu, to robimy tak. Wykrawamy z wnętrza kwadratu obwód mniejszego kwadratu, Dosyć jasne jest, że te dwa obwody mają tle samo punktów, prawda? A ile jeszcze punktów tego wnętrza zostało…
zagadka z kwadratem to błąd logiczny. Polega na tym, że z definicji punkt nie ma wymiarów zatem nie można powiedzieć ile punktów zawiera prosta a ile kwadrat.
Zagadka ze strzałą to również błąd logiczny, tak jak to opisano w linku z wikipedii. Ruch z definicji opisywany jest przez czas i przesunięcie i nie można go rozpatrywać biorąc pod uwagę tylko jedną z tych zmiennych bo po prostu zaczynamy “spowalniać czas” co oczywiście nie ma miejsca. Czas płynie i w tym czasie pokonywany jest jakiś odcinek.
Oba te paradoksy są o tyle interesujące, że pokazują, iż matematyka, fizyka to nauki, które u podstaw mają logikę. Brak logiki zaś prowadzi do paradoksalnych wniosków.
Zgadza się. Czas leci swoim tempem i dzielenie go na pół niewiele zmieni, nie ma tu żadnego paradoksu. Natomiast przy kwadracie nie ma błędu logicznego – jest tylko kwestia gęstości zbiorów. Gęstość zbioru R^2 jest identyczna jak zbioru R, stąd każdemu punktowi we wnętrzu kwadratu da się przypisać jednoznacznie jeden punkt na obwodzie i vice versa. O gęstości zbiorów nieskończonych już zresztą kiedyś wspominałem, o tutaj: http://xpil.eu/zxSw7
Obwód nie ma więcej punktów niż wnętrze, bo i tu, i tu jest ich nieskończenie wiele zatem trudne powiedzieć, że nieskończoność w którymś przypadku jest większa lub mniejsza. Liczba punktów jest zaś nieskończona ponieważ punkty z definicji nie mają rozmiaru.
Błąd w tej całej zagadce jest następujący:
1. Boki kwadratu są lokalnym układem współrzędnych
2. Układ współrzędnych płaskich ma tylko 2 osie a nie 4 osie.
3. Jeżeli wprowadzamy nowy układ współrzędnych to liczenie w nowym układzie współrzędnych jest niezależne od liczenia punktów w innym układzie współrzędnych. Oznacza to, że wyników (ilości) nie można sumować.
Poza tym te dwa układu współrzędnych mają inne początki zatem współrzędne odpowiednich punktów są całkowicie inne i nie odpowiadają sobie, w przykładzie zaś są to te same współrzędne.
Fajnie, że kombinujesz, ale trochę na ślepo. W tym “paradoksie” z kwadratem (paradoksie, którego tak naprawdę nie ma) chodzi wyłącznie o gęstość zbiorów, która, jak już wspomniałem, jest identyczna dla R i R^2 (oraz w ogólności dla R^N, dla dowolnie dużego, skończonego N>1). Możesz identyczne rozumowanie przeprowadzić dla sześcianu (a więc wykazać, że ilość punktów wewnątrz sześcianu jest identyczną z ilością punktów tworzących jego krawędź).
Nieskończoności są różnych rodzajów i liczności. Po więcej szczegółów zapraszam na Wikipedię: https://pl.wikipedia.org/wiki/Skala_alef%C3%B3w
Chwila moment. A na jakiej podstawie odbywa się takie klajstrowanie współrzędnych? Równie dobrze można dodać do x pół litra i wyjdzie ze kwadrat to dno społeczne
Na podstawie ściśle podanej definicji: klajstrujemy cyferki współrzędnej Y zaraz za cyferkami współrzędnej X. Tu właśnie kłania się gęstość zbioru: nieważne jak gęsto są upakowane punkty w kwadracie, tak samo gęsto są punkty na jego obwodzie.
El toro zdaje się mówi o rzutowaniu każdego punktu z wnętrza kwadratu na którąś z osi. Nie jest to rzutowanie jednoznaczne (czyli jeden do jednego tj. jeden punkt na osi odpowiada tylko jednemu punktowi z wnętrza kwadratu) bo nie da się odwzorować płaszczyzny na dwóch prostych. To, że punkty mają swoje niepowtarzalne rzędne to żaden argument, to po prostu współrzędne tych punktów kwadratu nie zaś współrzędne leżące na osi.
Jaro, próbujesz stosować logikę używaną jeszcze do niedawna głównie do łapania małych zwierzątek i uciekania przed dużymi, do nieskończenie małych abstrakcji zwanych punktami. W naszym świecie rzeczy nieskończenie małe nie istnieją (być może poza czarnymi dziurami, ale spróbuj je upakować nieskończenie gęsto…), dlatego nasza intuicja słabo sobie z nimi radzi.
Zauważ, że między każdymi dowolnie blisko siebie położonymi dwoma punktami na obwodzie kwadratu znajduje się dokładnie tyle samo punktów, co na całym jego obwodzie. Zwiększanie ilości wymiarów niczego tu nie zmienia – gęstość punktów nie wzrośnie przy przejściu z R do R^2. Stąd też da się prosto “policzyć”, że tu i tam punktów jest dokładnie tyle samo (innymi słowy: zbiory R i R^2 są równoliczne).
Nie wiem co Ci się nie podoba w “sklejaniu” współrzędnych. Jest to prosta operacja dająca jednoznaczne wyniki (paradoksalnie nawet dla punktów o niewymiernych współrzędnych, a więc takich, gdzie trzeba “skleić” dwa nieskończenie długie ciągi cyfr). Każdemu punktowi na obwodzie kwadratu będzie odpowiadał dokładnie jeden punkt w jego wnętrzu i vice versa.
Zresztą żeby uzyskać bijekcję (właśnie nauczyłem się nowego słówka!) odwzorowującą odcinek w kwadrat (i vice versa), nie trzeba koniecznie “sklejać” cyfr. Można zamiast tego użyć innych metod. Parę sekund guglania znalazło mi ten oto adres: http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt2/skrypt/node12.html (przewiń w dół do przykładu 5).
Oczywiście jeżeli weźmiemy dwie grupy ludzi i jednych będziemy karmić pizzą w kształcie okręgu, a drugich tylko jej obwodem, to ci drudzy padną z głodu 😉
w negocjacjach czasami dochodzi się do takiego punktu, ze jedna strona się zabetonuje i druga również. I wtedy należy dać sobie spokój na jakiś czas i wrócić do dyskusji. Są też inne rozwiązania, ale zakładając, że zespoły negocjacyjne się nie zmieniają to należy przerwać dyskusję i wrócić do niej kiedyś indziej. Albo i nie. Można również poszukać innej zagadki matematycznej a o tej zapomnieć. I ja jestem za tym drugim rozwiązaniem.
Zgadzam się i również jestem za tym, żeby zabetonowanych negocjacji na siłę nie rozbetonowywywać :] Co prawda w matematyce o negocjacje ciężko, to jedyna z nauk, gdzie nie ma opinii, są tylko fakty – ale ok, odpuszczam. Do następnej zagadki 🙂