Znajoma znajomej ma syna. Syn ma lat dziewięć, w związku z czym uczęszcza do szkoły. W szkole uczy się między innymi matematyki. No i trafił na takie dość zaawansowane (jak na dziewięciolatka) zadanie:
Używając cyfr 1-9, utwórz trzy liczby trzycyfrowe, których suma wynosi 1000. Każdej cyfry można użyć tylko raz.
Ponieważ chłopak nie bardzo wiedział jak to ugryźć, zagaił do rodziców po pomoc. Rodzice ugrzęźli, więc rozpuścili wici po znajomych. Wreszcie zadanko trafiło do mnie. Zacząłem kombinować. Najpierw wyszło mi, że ilość możliwych kombinacji idzie w miliony, a więc w najgorszym razie dałoby się to zasymulować w SQL-u (ot, wygenerować wszystkie permutacje i odfiltrować te, które dają sumę inną niż 1000). Ale, pomyślałem sobie, przecież nie każą dziewięciolatkowi instalować SQL Servera dla jednego zadanka. A więc można prościej.
Rozpisałem sobie wszystkie możliwe kombinacje ostatnich cyfr tych liczb trzycyfrowych tak, żeby na końcu wyszło zero. A więc: (1,2,7), (1,3,6) i tak dalej aż do (9,8,3).
Potem pomyślałem, że dla każdej z tych kombinacji znajdę kombinacje drugich cyfr, żeby na drugim miejscu od końca też wyszło zero. Powinno ich być dużo mniej, bo trzy już są zużyte. Ale jednak za dużo bazgraniny z tego wyszło, więc wziąłem się na sposób:
Rozpisałem sobie wszystkie cyfry, w grupach po trzy, o tak:
123 456 789
Dodałem je. Wyszło więcej niż 1000. Zacząłem przestawiać cyfry między liczbami aż doszedłem do wariantu dającego w sumie 999.
I tu mnie olśniło.
Przecież skoro udało mi się ułożyć sumę 999, która dzieli się przez trzy, to każda inna suma też będzie dzielić się przez trzy. Przecież 1+2+3+4+5+6+7+8+9 dzieli się przez trzy. A tysiąc przez trzy się nie dzieli.
A więc zmarnowałem sporo czasu na bezużyteczne rozważania...
Tak czy siak, założyłem, że w treści zadania był błąd, i że tam miało być "dziewięć wybranych cyfr" a nie "wszystkie cyfry od 1 do 9".
Przy takim założeniu, należy usunąć jedną z cyfr z zestawu, a z pozostałych ułożyć trzy liczby zgodnie z warunkami zadania.
Pytanie: co usunąć?
Na pewno nie trójkę, szóstkę ani dziewiątkę, bo to nie zmieni w żaden sposób podzielności przez trzy. Skoro 1000 mod 3 = 1, trzeba tę "resztową" jedynkę jakoś "dodać", a więc trzeba usunąć cyfrę, która daje w dzieleniu przez trzy resztę dwa (w efekcie, sumowanie będzie zawsze dawało wynik dzielący się przez trzy z resztą jeden, a więc będzie szansa na uzyskanie równego tysiąca).
W ten sposób kombinując, uzyskałem listę cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,9 (wyrzuciłem ósemkę), a następnie, metodą prób i błędów, znalazłem: 263+197+540=1000.
Oczywiście cyfry można zamieniać między tymi liczbami, pod warunkiem, że nie zmienimy ich pozycji w liczbie. A więc: 163+297+540, 293+167+540, 260+197+543 i tak dalej.
Prawdopodobnie da się też rozwiązać zadanie wywalając dwójkę albo piątkę (zamiast ósemki). Na to już mi nie starczyło samozaparcia 🙂
Odmaszerowuję do zmywaka.
dziękuję że jak zwykle mogłam na ciebie liczyć – w takich logicznych zadaniach :):)
idę linka podesłac mamie tego chłopca;)
🙂 a ja myslalem w ten sposob:
Skupiajac sie na sumach liczb – wszystkie liczby od 1 do 9 to w sumie 45.
Liczac w slupkach trzy 3cyfrowe liczby dodajemy je od prawej wiec mamy slupek prawy srodkowy i lewy
Prawy slupek musi miec 10 lub 20 w sumie, Srodkowy moze miec 9 (jedynka przechodzi z prawego slupka jesli bylo 10) lub 18 (jesli w prawym bylo 20) a lewy 8 lub 9 (w zaleznosci od slupka srodkowego)
Mamy takie kombinacje sum slupkow zeby wyszedl 1000:
L S P
9 9 10 w sumie 28
8 19 10 w sumie 37
9 8 20 w sumie 37
8 18 20 w sumie 46!
zadna suma nie odpowiada 45 (ogolnej sumie liczb od 1 do 9).
Idac twoim tropem … i wstawiajac zero mozemy odjac jedynie 8 tylko zeby miec 37 … wiec idac dalej warunkiem zadania musialo byc uzyj 9 cyfr z 10 …
Pozdrawiam BartekZ
trochę inne podejście [a dokładniej trop]
Na pozycji jedności powinny znajdować się cyfry, których suma mod 10 = 0:
Na pozycji dziesiątek suma cyfr mod 10 ma się równać 9 przy czym cyfry nie występują na pozycji jedności
"Na pozycji dziesiątek suma cyfr mod 10 ma się równać 9" – a czemu tak?
No dobra [po sprawdzeniu] – 9 lub 8 [8,7,5]
Generalnie – po wykonaniu kodu:
with licz as(
select 0 [x]
union all
select x+1 from licz where x<9
)
, jed as (
select l1.x a, l2.x b, l3.x c, (l1.x+ l2.x + l3.x)/10 suma_jed,
convert(char(1), l1.x)+ convert(char(1), l2.x) + convert(char(1), l3.x) str_jed
from licz l1, licz l2, licz l3
where (l1.x+ l2.x + l3.x) %10 =0
and l1.x l2.x and l1.x l3.x and l2.x l3.x)
–select * from jed order by suma_jed;
, dzie as (
select l1.x d, l2.x e, l3.x f, (l1.x+ l2.x + l3.x+jed.suma_jed)/10 suma_dzie,
convert(char(1), l1.x)+ convert(char(1), l2.x) + convert(char(1), l3.x) str_dzie, jed.*
from licz l1, licz l2, licz l3, jed
where (l1.x+ l2.x + l3.x) %10 = 10 -jed.suma_jed
and l1.x l2.x and l1.x l3.x and l2.x l3.x
and CHARINDEX(convert(char(1), l1.x), jed.str_jed)=0
and CHARINDEX(convert(char(1), l2.x), jed.str_jed)=0
and CHARINDEX(convert(char(1), l3.x), jed.str_jed)=0)
select distinct
100*l1.x + 10*d +a w1,
100*l2.x + 10*e +b w2,
100*l3.x + 10*f +c w3
into wynik
from licz l1, licz l2, licz l3, dzie
where (l1.x+ l2.x + l3.x) %10 = 10 -dzie.suma_dzie
and l1.x l2.x and l1.x l3.x and l2.x l3.x
and l1.x>0 and l2.x >0 and l3.x >0
and CHARINDEX(convert(char(1), l1.x), dzie.str_jed+dzie.str_dzie)=0
and CHARINDEX(convert(char(1), l2.x), dzie.str_jed+dzie.str_dzie)=0
and CHARINDEX(convert(char(1), l3.x), dzie.str_jed+dzie.str_dzie)=0
a potem:
select w1, w2, w3, w1+w2 + w3
from wynik
where w1+w2 + w3=1000
and w1> 99 and w2 >99 and w3 >99
order by w1, w2, w3;
dostałem 1080 liczb….
104 237 659
104 239 657
104 257 639
104 259 637
104 327 569
104 329 567
104 367 529
104 369 527
104 527 369
104 529 367
104 567 329
104 569 327
104 637 259
104 639 257
104 657 239
104 659 237
107 234 659
107 239 654
107 254 639
107 259 634
107 324 569
107 329 564
107 364 529
107 369 524
107 524 369
107 529 364
107 564 329
107 569 324
107 634 259
107 639 254
107 654 239
107 659 234
109 234 657
109 237 654
109 254 637
109 257 634
109 324 567
109 327 564
109 364 527
109 367 524
109 524 367
109 527 364
109 564 327
109 567 324
109 634 257
109 637 254
109 654 237
109 657 234
124 307 569
124 309 567
124 367 509
124 369 507
124 507 369
124 509 367
124 567 309
124 569 307
127 304 569
127 309 564
127 364 509
127 369 504
127 504 369
127 509 364
127 564 309
127 569 304
129 304 567
129 307 564
129 364 507
129 367 504
129 504 367
129 507 364
129 564 307
129 567 304
130 274 596
130 276 594
130 294 576
130 296 574
130 574 296
130 576 294
130 594 276
130 596 274
134 207 659
134 209 657
134 257 609
134 259 607
134 270 596
134 276 590
134 290 576
134 296 570
134 570 296
134 576 290
134 590 276
134 596 270
134 607 259
134 609 257
134 657 209
134 659 207
136 270 594
136 274 590
136 290 574
136 294 570
136 570 294
136 574 290
136 590 274
136 594 270
137 204 659
137 209 654
137 254 609
137 259 604
137 604 259
137 609 254
137 654 209
137 659 204
139 204 657
139 207 654
139 254 607
139 257 604
139 604 257
139 607 254
139 654 207
139 657 204
140 263 597
140 267 593
140 293 567
140 297 563
140 563 297
140 567 293
140 593 267
140 597 263
143 260 597
143 267 590
143 290 567
143 297 560
143 560 297
143 567 290
143 590 267
143 597 260
147 260 593
147 263 590
147 290 563
147 293 560
147 560 293
147 563 290
147 590 263
147 593 260
154 207 639
154 209 637
154 237 609
154 239 607
154 607 239
154 609 237
154 637 209
154 639 207
157 204 639
157 209 634
157 234 609
157 239 604
157 604 239
157 609 234
157 634 209
157 639 204
159 204 637
159 207 634
159 234 607
159 237 604
159 604 237
159 607 234
159 634 207
159 637 204
160 243 597
160 247 593
160 293 547
160 297 543
160 543 297
160 547 293
160 593 247
160 597 243
163 240 597
163 247 590
163 290 547
163 297 540
163 540 297
163 547 290
163 590 247
163 597 240
164 307 529
164 309 527
164 327 509
164 329 507
164 507 329
164 509 327
164 527 309
164 529 307
167 240 593
167 243 590
167 290 543
167 293 540
167 304 529
167 309 524
167 324 509
167 329 504
167 504 329
167 509 324
167 524 309
167 529 304
167 540 293
167 543 290
167 590 243
167 593 240
169 304 527
169 307 524
169 324 507
169 327 504
169 504 327
169 507 324
169 524 307
169 527 304
170 234 596
170 236 594
170 294 536
170 296 534
170 534 296
170 536 294
170 594 236
170 596 234
174 230 596
174 236 590
174 290 536
174 296 530
174 530 296
174 536 290
174 590 236
174 596 230
176 230 594
176 234 590
176 290 534
176 294 530
176 530 294
176 534 290
176 590 234
176 594 230
190 234 576
190 236 574
190 243 567
190 247 563
190 263 547
190 267 543
190 274 536
190 276 534
190 534 276
190 536 274
190 543 267
190 547 263
190 563 247
190 567 243
190 574 236
190 576 234
193 240 567
193 247 560
193 260 547
193 267 540
193 540 267
193 547 260
193 560 247
193 567 240
194 230 576
194 236 570
194 270 536
194 276 530
194 530 276
194 536 270
194 570 236
194 576 230
196 230 574
196 234 570
196 270 534
196 274 530
196 530 274
196 534 270
196 570 234
196 574 230
197 240 563
197 243 560
197 260 543
197 263 540
197 540 263
197 543 260
197 560 243
197 563 240
204 137 659
204 139 657
204 157 639
204 159 637
204 637 159
204 639 157
204 657 139
204 659 137
205 316 479
205 319 476
205 376 419
205 379 416
205 416 379
205 419 376
205 476 319
205 479 316
206 315 479
206 319 475
206 375 419
206 379 415
206 415 379
206 419 375
206 475 319
206 479 315
207 134 659
207 139 654
207 154 639
207 159 634
207 634 159
207 639 154
207 654 139
207 659 134
209 134 657
209 137 654
209 154 637
209 157 634
209 315 476
209 316 475
209 375 416
209 376 415
209 415 376
209 416 375
209 475 316
209 476 315
209 634 157
209 637 154
209 654 137
209 657 134
215 306 479
215 309 476
215 376 409
215 379 406
215 406 379
215 409 376
215 476 309
215 479 306
216 305 479
216 309 475
216 375 409
216 379 405
216 405 379
216 409 375
216 475 309
216 479 305
219 305 476
219 306 475
219 375 406
219 376 405
219 405 376
219 406 375
219 475 306
219 476 305
230 174 596
230 176 594
230 194 576
230 196 574
230 574 196
230 576 194
230 594 176
230 596 174
234 107 659
234 109 657
234 157 609
234 159 607
234 170 596
234 176 590
234 190 576
234 196 570
234 570 196
234 576 190
234 590 176
234 596 170
234 607 159
234 609 157
234 657 109
234 659 107
236 170 594
236 174 590
236 190 574
236 194 570
236 570 194
236 574 190
236 590 174
236 594 170
237 104 659
237 109 654
237 154 609
237 159 604
237 604 159
237 609 154
237 654 109
237 659 104
239 104 657
239 107 654
239 154 607
239 157 604
239 604 157
239 607 154
239 654 107
239 657 104
240 163 597
240 167 593
240 193 567
240 197 563
240 563 197
240 567 193
240 593 167
240 597 163
243 160 597
243 167 590
243 190 567
243 197 560
243 560 197
243 567 190
243 590 167
243 597 160
247 160 593
247 163 590
247 190 563
247 193 560
247 560 193
247 563 190
247 590 163
247 593 160
254 107 639
254 109 637
254 137 609
254 139 607
254 607 139
254 609 137
254 637 109
254 639 107
257 104 639
257 109 634
257 134 609
257 139 604
257 604 139
257 609 134
257 634 109
257 639 104
259 104 637
259 107 634
259 134 607
259 137 604
259 604 137
259 607 134
259 634 107
259 637 104
260 143 597
260 147 593
260 193 547
260 197 543
260 543 197
260 547 193
260 593 147
260 597 143
263 140 597
263 147 590
263 190 547
263 197 540
263 540 197
263 547 190
263 590 147
263 597 140
267 140 593
267 143 590
267 190 543
267 193 540
267 540 193
267 543 190
267 590 143
267 593 140
270 134 596
270 136 594
270 194 536
270 196 534
270 534 196
270 536 194
270 594 136
270 596 134
274 130 596
274 136 590
274 190 536
274 196 530
274 530 196
274 536 190
274 590 136
274 596 130
275 306 419
275 309 416
275 316 409
275 319 406
275 406 319
275 409 316
275 416 309
275 419 306
276 130 594
276 134 590
276 190 534
276 194 530
276 305 419
276 309 415
276 315 409
276 319 405
276 405 319
276 409 315
276 415 309
276 419 305
276 530 194
276 534 190
276 590 134
276 594 130
279 305 416
279 306 415
279 315 406
279 316 405
279 405 316
279 406 315
279 415 306
279 416 305
290 134 576
290 136 574
290 143 567
290 147 563
290 163 547
290 167 543
290 174 536
290 176 534
290 534 176
290 536 174
290 543 167
290 547 163
290 563 147
290 567 143
290 574 136
290 576 134
293 140 567
293 147 560
293 160 547
293 167 540
293 540 167
293 547 160
293 560 147
293 567 140
294 130 576
294 136 570
294 170 536
294 176 530
294 530 176
294 536 170
294 570 136
294 576 130
296 130 574
296 134 570
296 170 534
296 174 530
296 530 174
296 534 170
296 570 134
296 574 130
297 140 563
297 143 560
297 160 543
297 163 540
297 540 163
297 543 160
297 560 143
297 563 140
304 127 569
304 129 567
304 167 529
304 169 527
304 527 169
304 529 167
304 567 129
304 569 127
305 216 479
305 219 476
305 276 419
305 279 416
305 416 279
305 419 276
305 476 219
305 479 216
306 215 479
306 219 475
306 275 419
306 279 415
306 415 279
306 419 275
306 475 219
306 479 215
307 124 569
307 129 564
307 164 529
307 169 524
307 524 169
307 529 164
307 564 129
307 569 124
309 124 567
309 127 564
309 164 527
309 167 524
309 215 476
309 216 475
309 275 416
309 276 415
309 415 276
309 416 275
309 475 216
309 476 215
309 524 167
309 527 164
309 564 127
309 567 124
315 206 479
315 209 476
315 276 409
315 279 406
315 406 279
315 409 276
315 476 209
315 479 206
316 205 479
316 209 475
316 275 409
316 279 405
316 405 279
316 409 275
316 475 209
316 479 205
319 205 476
319 206 475
319 275 406
319 276 405
319 405 276
319 406 275
319 475 206
319 476 205
324 107 569
324 109 567
324 167 509
324 169 507
324 507 169
324 509 167
324 567 109
324 569 107
327 104 569
327 109 564
327 164 509
327 169 504
327 504 169
327 509 164
327 564 109
327 569 104
329 104 567
329 107 564
329 164 507
329 167 504
329 504 167
329 507 164
329 564 107
329 567 104
364 107 529
364 109 527
364 127 509
364 129 507
364 507 129
364 509 127
364 527 109
364 529 107
367 104 529
367 109 524
367 124 509
367 129 504
367 504 129
367 509 124
367 524 109
367 529 104
369 104 527
369 107 524
369 124 507
369 127 504
369 504 127
369 507 124
369 524 107
369 527 104
375 206 419
375 209 416
375 216 409
375 219 406
375 406 219
375 409 216
375 416 209
375 419 206
376 205 419
376 209 415
376 215 409
376 219 405
376 405 219
376 409 215
376 415 209
376 419 205
379 205 416
379 206 415
379 215 406
379 216 405
379 405 216
379 406 215
379 415 206
379 416 205
405 216 379
405 219 376
405 276 319
405 279 316
405 316 279
405 319 276
405 376 219
405 379 216
406 215 379
406 219 375
406 275 319
406 279 315
406 315 279
406 319 275
406 375 219
406 379 215
409 215 376
409 216 375
409 275 316
409 276 315
409 315 276
409 316 275
409 375 216
409 376 215
415 206 379
415 209 376
415 276 309
415 279 306
415 306 279
415 309 276
415 376 209
415 379 206
416 205 379
416 209 375
416 275 309
416 279 305
416 305 279
416 309 275
416 375 209
416 379 205
419 205 376
419 206 375
419 275 306
419 276 305
419 305 276
419 306 275
419 375 206
419 376 205
475 206 319
475 209 316
475 216 309
475 219 306
475 306 219
475 309 216
475 316 209
475 319 206
476 205 319
476 209 315
476 215 309
476 219 305
476 305 219
476 309 215
476 315 209
476 319 205
479 205 316
479 206 315
479 215 306
479 216 305
479 305 216
479 306 215
479 315 206
479 316 205
504 127 369
504 129 367
504 167 329
504 169 327
504 327 169
504 329 167
504 367 129
504 369 127
507 124 369
507 129 364
507 164 329
507 169 324
507 324 169
507 329 164
507 364 129
507 369 124
509 124 367
509 127 364
509 164 327
509 167 324
509 324 167
509 327 164
509 364 127
509 367 124
524 107 369
524 109 367
524 167 309
524 169 307
524 307 169
524 309 167
524 367 109
524 369 107
527 104 369
527 109 364
527 164 309
527 169 304
527 304 169
527 309 164
527 364 109
527 369 104
529 104 367
529 107 364
529 164 307
529 167 304
529 304 167
529 307 164
529 364 107
529 367 104
530 174 296
530 176 294
530 194 276
530 196 274
530 274 196
530 276 194
530 294 176
530 296 174
534 170 296
534 176 290
534 190 276
534 196 270
534 270 196
534 276 190
534 290 176
534 296 170
536 170 294
536 174 290
536 190 274
536 194 270
536 270 194
536 274 190
536 290 174
536 294 170
540 163 297
540 167 293
540 193 267
540 197 263
540 263 197
540 267 193
540 293 167
540 297 163
543 160 297
543 167 290
543 190 267
543 197 260
543 260 197
543 267 190
543 290 167
543 297 160
547 160 293
547 163 290
547 190 263
547 193 260
547 260 193
547 263 190
547 290 163
547 293 160
560 143 297
560 147 293
560 193 247
560 197 243
560 243 197
560 247 193
560 293 147
560 297 143
563 140 297
563 147 290
563 190 247
563 197 240
563 240 197
563 247 190
563 290 147
563 297 140
564 107 329
564 109 327
564 127 309
564 129 307
564 307 129
564 309 127
564 327 109
564 329 107
567 104 329
567 109 324
567 124 309
567 129 304
567 140 293
567 143 290
567 190 243
567 193 240
567 240 193
567 243 190
567 290 143
567 293 140
567 304 129
567 309 124
567 324 109
567 329 104
569 104 327
569 107 324
569 124 307
569 127 304
569 304 127
569 307 124
569 324 107
569 327 104
570 134 296
570 136 294
570 194 236
570 196 234
570 234 196
570 236 194
570 294 136
570 296 134
574 130 296
574 136 290
574 190 236
574 196 230
574 230 196
574 236 190
574 290 136
574 296 130
576 130 294
576 134 290
576 190 234
576 194 230
576 230 194
576 234 190
576 290 134
576 294 130
590 134 276
590 136 274
590 143 267
590 147 263
590 163 247
590 167 243
590 174 236
590 176 234
590 234 176
590 236 174
590 243 167
590 247 163
590 263 147
590 267 143
590 274 136
590 276 134
593 140 267
593 147 260
593 160 247
593 167 240
593 240 167
593 247 160
593 260 147
593 267 140
594 130 276
594 136 270
594 170 236
594 176 230
594 230 176
594 236 170
594 270 136
594 276 130
596 130 274
596 134 270
596 170 234
596 174 230
596 230 174
596 234 170
596 270 134
596 274 130
597 140 263
597 143 260
597 160 243
597 163 240
597 240 163
597 243 160
597 260 143
597 263 140
604 137 259
604 139 257
604 157 239
604 159 237
604 237 159
604 239 157
604 257 139
604 259 137
607 134 259
607 139 254
607 154 239
607 159 234
607 234 159
607 239 154
607 254 139
607 259 134
609 134 257
609 137 254
609 154 237
609 157 234
609 234 157
609 237 154
609 254 137
609 257 134
634 107 259
634 109 257
634 157 209
634 159 207
634 207 159
634 209 157
634 257 109
634 259 107
637 104 259
637 109 254
637 154 209
637 159 204
637 204 159
637 209 154
637 254 109
637 259 104
639 104 257
639 107 254
639 154 207
639 157 204
639 204 157
639 207 154
639 254 107
639 257 104
654 107 239
654 109 237
654 137 209
654 139 207
654 207 139
654 209 137
654 237 109
654 239 107
657 104 239
657 109 234
657 134 209
657 139 204
657 204 139
657 209 134
657 234 109
657 239 104
659 104 237
659 107 234
659 134 207
659 137 204
659 204 137
659 207 134
659 234 107
659 237 104
Czy aby 400+500+100 nie wystarczy?
Nie zauważyłem, że tylko raz można użyć cyfry. Zakładam, ze to zmodyfikowana wersja zadania.