Natknąłem się niedawno na interesujące zagadnienie geometryczne. Problem jest znany od starożytności i dość przewrotny, ponieważ brzmi całkiem trywialnie, jednak jak na razie nie udało się odnaleźć ogólnego rozwiązania. Coś jak z Wielką Hipotezą Fermata, która pomimo swej pozornej prostoty stawiała opór próbom udowodnienia przez ponad trzysta lat.
Tym razem mowa jest o tzw. liczbach przystających. Liczba przystająca to taka liczba, która może być polem powierzchni trójkąta prostokątnego o wymiernych długościach boków.
Jeszcze raz.
Liczba przystająca to taka liczba naturalna N, że istnieje trójkąt prostokątny z bokami o wymiernych długościach, którego pole powierzchni wynosi N.
Najprostszy przykład, który aż się pcha pod nos, to sześć. Szóstka jest liczbą przystającą, ponieważ pole powierzchni trójkąta pitagorejskiego wynosi 6.
Dla niezorientowanych: trójkąt pitagorejski ma boki o długościach 3, 4, 5 i jest trójkątem prostokątnym.
W przypadku trójkąta pitagorejskiego sprawa jest o tyle trywialna, że długości boków są liczbami całkowitymi. Pytanie: czy istnieje trójkąt prostokątny z wymiernymi długościami boków, którego pole powierzchni wynosi pięć?
Otóż - uwaga - istnieje! Trójkąt o bokach długości 3/2, 20/3 i 41/6 jest trójkątem prostokątnym (jak ktoś nie wierzy, niech sobie sprawdzi Pitagorasem), a jego pole powierzchni wynosi właśnie pięć.
A cztery?
Dla czwórki już takiego trójkąta nie znajdziemy, podobnie jak dla trójki, dwójki ani jedynki. Pięć jest więc najmniejszą liczbą przystającą.
Problem ogólny polega jednak na tym, żeby sprawdzić przystawalność dowolnej liczby naturalnej. Nie ma bowiem jak dotychczas jakiegoś uniwersalnego wzoru do sprawdzania przystawalności liczb. Są rozmaite komputerowe algorytmy, które dla względnie niedużych liczb są w stanie szybko ustalić czy dana liczba jest przystająca czy nie, jednak ogólnego wzoru nie ma.
Jest kilka wskazówek: na przykład udało się udowodnić, że jeżeli jakaś liczba pierwsza w dzieleniu przez osiem daje resztę trzy, na pewno nie jest liczbą przystającą, za to jej dwukrotność - owszem. Podobnie, jeżeli jakaś liczba pierwsza daje w dzieleniu przez osiem resztę pięć, na pewno jest liczbą przystającą. Wreszcie, jeżeli reszta z takiego dzielenia wynosi siedem, zarówno dana liczba jak i jej dwukrotność są liczbami przystającymi.
Jednak to tylko przypadki szczególne. Ogólnej metody na sprawdzenie przystawalności dowolnej liczby naturalnej jeszcze nie odnaleziono (i póki co raczej się nie zapowiada). Zagadnienie, jak widać, ociera się o liczby pierwsze, a te od zawsze były pełne niespodzianek...
Nie dalej jak tydzień temu grupie programistów i matematyków z różnych stron świata udało się połączonymi siłami ustalić przystawalność każdej liczby naturalnej mniejszej od biliona (jedynka z dwunastoma zerami). To jednak w dalszym ciągu tylko wierzchołek góry lodowej.
Dziwny świat.
Fascynujący świat powiedziałbym.